Hidrológiai Közlöny 1988 (68. évfolyam)
6. szám - Gáspár Csaba: A konvektív diffúziós operátor matematikai vizsgálata
346 , HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1988. 68. ÉVF., 5. SZ ÄM Az előző esethez hasonlóan, legyen W : = a~ 1! 2l7, akkor innen a dW d 2 szimmetrikus operátorú egyenletet kapjuk Megjegyezzük, hogy ez az egyenlet meg akkor is változó együtthatójú, ha speciálisan k és b konstansok. Altalános esetben — egyfajta lehetőségként — célszerű térbeli diszkretizációt alkalmazni. Ekkor (36) diszkrét megfelelője szintén egy +Au + Bu=f (39) u(0) - u 0 alakú közönséges differenciálegyenletre vonatkozó kezdeti érték feladat, de itt már u a diszkrét paraméterekből összeállított vektort jelenti, A, B pedig a megfelelő diszkretizált operátorokat (mátrixokat). Ennek pontos megoldása: u _ g- (A + Bjt Uo + (jr _ e- (A+ + ß)-y (40) ahol a mátrix-exponeneiálisok az exponenciális függvény Taylor-sorával vannak értelmezve. A mátrix-exponenciálisok általában nem számíthatók (38) mintájára, az A + B mátrix sajátrendszeréből, mert A + B általában nem szimmetrikus. Mindazonáltal szimmetrizálással ill. Jordán-féle normálalakra transzformálással e~ ( A + n) t számítható (Szöllősi-Nagy és Ambrus, 1986). (39) idő szerinti diszkretizálására egy másik módszerként a 3.2. Megjegyzésben leírt operátor splitting kínálkozik. Ekkor az egyes időlépéshez tartozó közelítő megoldást az (I+tA)u n+ 1\ — (/ — rB)u n+tf (41) félig implicit rekurzió definiálja. A séma mindenesetre stabil, ha r elég kicsi (Id. a 3.2. Megjegyzést). Ha azonban r nagy, a (41) séma általában instabil. Megmutatjuk, hogy — a számítási munka növekedése árán — ez az instabilitás elkerülhető, egyúttal összekapcsoljuk a (41) operátor splitting módszert a (38) sorbafejtéses módszerrel. Tegyük fel, hogy a B mátrix „örökli" a konvekciós operátos antiszimmetriáját (ez a helyzet pl. egydimenziós esetben akkor, ha az x szerinti első deriváltat centrális differenciahányadossal közelítjük), azaz B = iC alakú, ahol C szimmetrikus mátrix. Tegyük fel továbbá, hogy az A mátrix is „örökli" a tiszta diffúziós operátor szimmetriáját. Vegyük észre, hogy I — irC elsőrendű közelítése az e Í T° mátrixnak. Ennek alapján, tekintsük (41) helyett az u°: — u 0 (I + rA )u H+ 1: = e~ ir Cu n + xj (42) rekurziót. Mivel C szimmetrikus, azért a sajátrendszere alapján e ir C egyszerűen számítható. C szimmetriája miatt C minden sajátértéke valós, ezért e iz G minden sajátértéke 1 abszolút értékű komplex szám. Innen következik, hogy (41) abszolút stabil, r-tól függetlenül. Végül megemlítjük, hogy ha a (36) nempermanens konvekciós-diffúziós egyenlet állandó együtthatós, akkor a probléma igen hatékonyan kezelhető perem-integrálegyenlet módszerrel (Ikeuchi és Onishi, 1983). Ennek részleteivel itt nem foglalkozunk. Irodalom Aubin, J . P., 1972. Approximation of Elliptic BoundaryValue Problems. Wiley-Interscicnce, New York Gáspár Gs., 1981. Peremérték-feladatok megoldása perem-integrál-egyenlet módszerrel. Egyetemi doktori értekezés, Budapest Ikeuchi, M., Onishi, K., 1983. Boundary Elements in Transient Convective Diffusion Problem. In: Proc. of the Fifth int. Conf. on Boundary Elements, Hiroshima, Japan, Nov. 1983. (Ed. G. A. Brebbia, T. Futagami, M Tanaka.) Springer-Verlag, Berlin —Heidelberg —New York —Tokyo Lions, J. L., Magenes E., 1972. Non-homogeneous Boundary Value Problems and Applications. Vol. 1. Springer- Verlag, Berlin —Heidelberg —New York Simon L., Baderko, E. A., 1983. Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek. Tankönyvkiadó, Budapest Szöllősi-Nagy A., Ambrus S., 1986. A linear state spece model for the spece and time discrete diffusion wave — backwater effects in flood routing. Workshop on Recent Developments in Flood Routing. 2nd I AH S Scientific Assembly, Budapest, Vlagyimirov, V. Sz., 1979. Bevezetés a parciális differenciálegyenletek elméletébe. Műszaki Könyvkiadó, Budapest Kézirat beérkezett: 1987. november 11. Közlésre elfogadva: 1988. március 3. A mathematical examination of the convective diffusion equation Gáspár, Cs. Abstract: This paper tries to give an analytical examination for the convective diffusion problem. The concepts of the convective and diffusive operators are introduced. The author summarizes their fundamental properties in several theorems. Theorem 2.1. states that the pure diffusion" operator restricted to the subspace of the square integrable functions vanishing along the boundary is self-adjoint and strictly positive. Moreover, its eigenvalues are positive and the corresponding eigenfunctions form a complete orthogonal system in the Hilbert space of the square integrable functions (Theorem 2.2). On the other hand, the convective operator is anti-symmetric (Theorem 2.3.), therefore their sum hasthe property of strict ellipticitv which guarantees that the steady-state convective diffusion problem always has a unique solution in this Hilbert space (Theorem 2.4.) if a homogeneous Diriclilet boundary condition is given. This result is generalized for the case of non-homogeneous mixed boundary conditions: in this case, the roles of the
