Hidrológiai Közlöny 1988 (68. évfolyam)

6. szám - Gáspár Csaba: A konvektív diffúziós operátor matematikai vizsgálata

342 , HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1988. 68. ÉVF., 5. SZ

ÄM feltételt valamilyen u-tói független m >0 konstanssal, akkor bármely f£L

2(Q) jobboldal esetén a Du=f (15) egyenletnek egyetlenegy r-n eltűnő L

2(Q)-beli megoldása van. Ez az u megoldás L

2(ü) normája szerint folytonosan függ az/ jobboldaltól, azaz, ha f

n olyan jobboldal-sorozat, melyre 11 f

n —/ 11 0 teljesül, akkor a megfelelő u

n megoldásokra 11 u,

n — m 11 0 teljesül. Továbbá M-ra érvényes az || M||3m-i ll/ll (16) becslés. Megmutatjuk az egyértelműséget. Ha u

t és u

2 mind ketten (15) megoldásai, akkor az u := u

x—u., függvény nyilván megoldása a Du = 0 homogén egyenletnek. Erre az u-ra ezért (Du, u) =0 teljesül. Ámde (15) miatt innen ||M||r=0, azaz u=0 következik, ezért szükségképp u

l = a,. (16) belátásához (14)-ben alkalmazzuk az ismert Caucliy-Schwarz-féle egyenlőtlenséget: m||w||

2 ä

Re (Du, u) \(Du,u)\ ^ ||fl

M|| .||«|| = = 11/11 -INI, innen (16) azonnal adódik. Az egzisztenciát illetően ld. Aubin (1972). Alkalmazzuk a fenti tételt a D: = A + iC operátorra, ahol A és iC az előzőekben bevezetett diffúziós ill. konvekciós operátor. Ha az u függvény eltűnik a F peremen, akkor Re(Du, u)= {Au, u)+Re i(Cu, u) A jobboldal első tagja (6) értelmében mX X 11 u 11

2-tel alulról becsülhető. A második tag a 2.3. Tétel értelmében zérus. Tehát a 2.4. Tétel feltételei teljesülnek. Következésképp a stacionárius, homogén első peremfeltételű (A+iC)u=f (17) u\F = ° konvekciós-diffúziós egyenletnek minden L

2(Q)beli / jobboldal esetén pontosan egy i

2(ß)-beli megoldása van, és ez folytonosan függ a jobboldaltól az L

2( Q) tér normája szerint. Néhány megjegyzést fűzünk a fenti eredményhez. (1) A 2.4.Tétel alkalmazhatósága a tiszta diffúziós operátoron múlik, a konvekciós tagról csak annyi van kihasználva, hogy antiszimmetrikus. A tiszta diffúziós operátor jelenléte biztosítja a (17) probléma megoldhatóságát akkor is, ha a k együttható a b sebességhez mérten igen kicsi, tehát a transzport lényegében konvektív. A helyzet teljesen megváltozik, ha a (17) egyenletben diffúziós tag egyáltalán nem szerepel: ekkor a (17) problémának általában egyáltalán nincs megoldása (nem biztosítható a peremfeltétel), azaz ez a matematikai struktúra nem alkalmas tiszta konvekciós problémák vizsgálatára. (2) A 2.4.Tétel sokkal nagyobb általánosságban is igaz, (Aubin, 1972; Lions és Magenes, 1972). Mindazonáltal lényegében egzisztenciatótel, és nem mond semmit arról, hogy az általa biztosított megoldás hogyan állítható elő numerikusan. (3) Az inhomogén első peremfeltétel esete könnyen visszavezethető a homogén peremfeltétel esetére. Ha ui. tekintjük most az (A+iC)u=f u\r = g (18) problémát, akkor legyen u

0 egy olyan függvény, ami az adott peremfeltételt kielégíti (ilyet általában könnyű találni), ós keressük u-t u = u

0-\-iv alakban. Akkor a (18) probléma nyilván ekvivalens a «.'-re vonatkozó (A + iC)w = <p w\r =0 homogén peremfeltételű problémával, ahol <p := /— ~(A+iC)u

0. 3. Operátor splitting módszer a permanens konvekciós-diffúziós egyenletre Dirichlet-féle peremfeltétel esetén Mint előzőleg megjegyeztük, a 2.4. Tétel nem ad módszert a közelítő megoldás megkeresésére. Most olyan eljárást vázolunk, melyből konkrét numerikus módszerek egész sora vezethető le. Tekintsük ismét az (A+iC)u=f (19) egyenletet, ahol u-ra homogén első peremfeltételt írunk elő. (Láttuk, hogy erre vezethető vissza az inhomogén peremfeltétel is.) A (19) egyenlet nyilván ekvivalens az (I+xA)u = (I-ixC)u+xf (20) egyenlettel, ahol a x >0 szám egyelőre tetszőleges paraméter, I pedig az identikus leképezést jelöli. Mivel A szigorúan pozitív definit operátor, az / + tA operátor méginkább az, mert nyilván <(/ + tA)u, u) = II u 11

2 + T(Au, u) Ä a(l + rm) || w||

2. Ezért a 2.4. Tétel értelmében az (1 +xA)~

l inverz operátor létezik, és u = (I + xA )~

1(I — ixC)u + g (21) ahol g: = x(I+xA)-y. A (21) egyenlőség alapján kézenfekvő a következő iterációs módszer. Kiindulunk egy tetszőleges u

0 induló közelítésből, és »a0-ra képezzük az u

n+

1-. = (I+xA)~\I-ixC)u

n+g (22) rekurziót. Azt várjuk, hogy — r alkalmas megválasztása esetén — az így nyert u

n sorozat valamilyen normában a pontos u megoldáshoz konvergál. Megjegyzések: (1) A (22) rekurzió minden egyes lépésében meg kell oldani egy (I + T A)un

+

l = (I—irC)u»+xf (23) alakú egyenletet u

n+

l-re, tehát az egyetlen (19) egyenlet megoldását látszólag sikerült visszavezetni egy egész sorozat egyenlet megoldására. Azonban a (23) egyenlet u

n+i-re nézve tiszta diffúziós egyenlet, melynek megoldására sokkal hatékonyabb módszerek konstruálha-