Hidrológiai Közlöny 1988 (68. évfolyam)

6. szám - Gáspár Csaba: A konvektív diffúziós operátor matematikai vizsgálata

GÁSPÁR CS.: Konvektív diffúziós operátor 343 tók, mint a nemszimmetrikus (19) egyenlet megoldására. (2) A (22) iterációnak szemléletes fizikai jelentés tulajdonítható. Tekintsük a nempermanens du dí (A + iC)u —f (24) egyenletet, minden időpontban homogén első peremfeltétellel ós időfüggetlen/ jobboldallal. Fizikailag nyilvánvaló, hogy ennek bármely u

0 kezdeti feltételből kiinduló megoldása t t- + ~ esetén a permanens (19) egyenlet u megoldásához konvergál (nem foglalkozunk azzal, hogy milyen norma szerint). Alkalmazzunk (24)-re egy idő szerinti diszkretizációt a következőkép]!. Az n + l-edik időlépésre való áttérést két lépésben hajtjuk végre: először a konvekciót vesszük figyelembe explicit sémával: u

n

+\ti — Un +- iCu

n —0 majd a diffúziót implicit sémával: -— + Au„ -/. A két utóbbi egyenletet összeadva éppen (23)-t kapjuk. így a (23) rekurzió tagjai felfoghatók a (24) nempermanens feladat közelítő megoldása értékeiként az egyes időlépésekben. A (22) iteráció konvergencia vizsgálatára a korit rakciós elvet fogjuk használni, mely szerint, ha alkalmas norma mellett minden U-T a igaz az (I + x A)~\] — ixC)u || =g

?. || u | (25) becslés valamely 1-nél kisebb (w-tól független) konstanssal, akkor a (22) rekurzió tetszőleges kezdőérték mellett konvergens a szóbanforgó norma szerint, éspedig (19) egyetlen megoldásához konvergál. Norma gyanánt most nem az eddigi LJ^Q)-normát használjuk, hanem az IMU := <(/+T4)«,U)>/

! normát. Mivel 7 +t/1 szigorúan pozitív definit, azért a || -11 a norma szerinti konvergencia maga után vonja az L„(ß)-beli konvergenciát. Nyilván \\(I+rA)-i(I-ÍTC)u\\t = ||C«||

2= \\Bu \\

2^r-{Au, u) és így \\(I+xA)-\I-irC)u II» s(l + n»)"i X X( \\u ||

2+r

2r -{Au, u) Ha most T-t olyan kicsire választjuk, hogy r

2r< x, azaz rsr

1, akkor a jobboldal tovább becsülhető: \\{I+xA)-\I-irC)u ||

2=s(l + xm)~^x X (11 u 11

2+ r .(Au, u)) = (1 + rm)-i \\u\\

2

A. Mivel pedig r>0 miatt (1 + r?«)

_

1-= 1, azért azt kaptuk, hogy a (25) feltétel teljesül minden 0 <t=s ^sl/r-re. Ezzel a (22) rekurzió konvergenciája (a 11. 11 A és a 11. j | norma szerint is) igazolva van. Végül megjegyezzük, hogy ha a k együttható és a b sebesség mindketten konstansok, akkor a r-ra tett előbbi feltétel egyenértékű a |

b | -Ax k = feltétellel, ahol Ax:=\\)\-x. 1 4. A permanens konvekciós-diffúziós egyenlet, vizsgálata kevert peremfeltétel mellett Ebben a részben megvizsgáljuk, hogy a nem-Diriclilet-típusú peremfeltótelek mellett a konvekciós-diffúziós egyenlet korrekt kitűzéseit marad-o. A tárgyalás alapgondolata hasonló a Dirichlet-féle peremfeltétel esetéhez; szó szerint azonban nem vehető át, mivel az A, H operátorokat most már az eddiginél bővebb függvénytérben kell értelmezni, ti. nem köthetjük ki e függvények eltűnését a V peremen. Ez a körülmény elrontja A szimmetriáját és Ji antiszimmetriáját is. A probléma szigorú tárgyalása az eddigieknél több matematikai eszközt igényel, ezért a matematikai gondolatmenetet csak vázoljuk. Tekintsük ezért a (4) egyenlet helyett annak gyenge. alak]Át: ha u megoldása (4)-nek (tetszőleges peremfeltétellel), akkor tetszőleges v függvény mellett {Au + Bu, «>=</, v) (26) is igaz. A baloldalon a divergenciatételt alkalmazva nyerjük, hogy: <(I + xA)(I + xA)-\l-ixC)u,(I + xA)~\I-ixC)u) = ((I-ixC)u, (I + xA)~i(I-ixC)u) A jobboldal a Cauchy—Schwarz-egyenlőtlenséggel felülről becsülhető, ezáltal: \\(I+tA)-\I-ítC)u\\\^ II (I-ixC)u || • • 11(/-f xA) ~

J (/—ixC)u ||. A jobboldal második tényezőjére most alkalmazzuk a (16) becslést. Innen \\(I+xA)-\I-ixC)u ||

2 ^(l + rm)-í'X X\\(I — ixC)u || 2= (1 + tto)1 X X (\\u\\*+x*\\Cu\\*). Végül a B operátorra vonatkozó (13) becslés értelmében J" (/.' grad u ) -grad v d Q + / (I) grad u)v dSi - f —^~vdr=ffv(\a. J dn* J Mivel (b -grad u)v ==div(b •uv) —w(b -grad v), (27) azért a baloldal második tagjában a divergenciatételt ismét alkalmazhatjuk. Innen / ((/.) grad u) —b -u) -grad v AQ + t/ uv (b -II) df + + r r Tegyük most fel, hogy a F peremen a következő kevert peremfeltétel adott: