Hidrológiai Közlöny 1988 (68. évfolyam)

6. szám - Gáspár Csaba: A konvektív diffúziós operátor matematikai vizsgálata

GÁSPÁR CS.: Konvektív diffúziós operátor 341 A Gauss-f éle diveryenciatétel szerint a jobboldal első tagja: / 12 -í div((fc grad u) •v) d/i = ((k grad u) n) •v df=0, mert v eltűnik r mentén. így {Au, v) = J (Ic grad u) -grad v d Q (7) és hasonlóan adódik, hogy (u, Av) ugyancsak (7) jobboldalával egyenlő. Ezzel a szimmetriát igazoltuk. Továbbá, (7) felhasználásával: {Au (k grad u) -grad u d íi. Ha most k mátrix (anizotróp eset), akkor feltételezésünk szerint k(x) szimmetrikus , pozitív definit mátrix, így minden sajátértéke pozitív minden x € O esetén, és (8) integrandusza valós. Jelölje A(x) a legkisebb sajátértéket : ismeretes, hogy (k grad u) -grad u s A(x) • Igrad u | 2. Legyen q =-0 olyan pozitív szám, melyre q s. A(x) teljesül minden x£ ß-ra, akkor nyilván {Au, u) í Igrad u |

2 dQ. a Ha k skalárfüggvény, akkor legyen q egy pozitív alsó korlátja a k(\) számoknak, ekkor (8)-ból triviálisan adódik (9). A Poincaré-egyenlótlenség értelmében (9) jobboldala alkalmas p > 0 w-tól független konstanssal alulról becsülhető, ha u eltűnik a rperemen.: J Igrad u |

2 ilűa? J |w|

2d Q 11 £1 (10) (9) és (10) egybevetéséből a (6) becslés közvetlenül adódik. Ezzel a 2.1. Tétel igazolva van. 2.2. Tétel: A P-n eltűnő függvények körében értelmezett A diffúziós operátornak csupa pozitív sajátértéke van: 7.

x ..., melyek sorozata a -f co-be tart. A megfelelő s

v ,s

2, ... sajátfüggvények teljes ortogonális rendszert alkotnak az L

2( Q) térben, azaz (sj,Sk) = 0, ha j^k, és tetszőleges / 6 L

2 (Ű) függvény előállítható sajátfüggvények szerinti Fourier-sorral: (11) 1 = 1 ahol a jobboldali sor az L

2( Q) tér normája szerint konvergens. A bizonyítást illetően Id. pl. Vlagyimirov (1979) Simon ós Baderko (1983). Megjegyezzük, hogy a 2.2. Tétel közvetlenül egyértelmű megoldhatóságot garantál az Au=f u\r = 0 stacionárius tiszta diffúziós problémára az L

2(íi) térben. Az eljárás ebben a formában a gyakorlatban csak ritkán alkalmazható, mert ehhez meg kell határozni az A operátor sajátrendszerét, ami numerikusan csak kivételes esetekben egyszerű feladat, ha a probléma kótvagy háromdimenziós. Tekintsük most a B konvekciós operátort. 2.3. Tétel: A F-n eltűnő függvények körében értelmezett B operátor antiszimmetrikus, azaz, ha u, v ilyen függvények, akkor {Bu, v)= — {u, Bv) (12) Továbbá alkalmas, u-tói független r konstans mellett érvényes az alábbi becslés: || Bu\\ 2^r(Au, u) (13) Vázoljuk a tétel bizonyítását. {Bu, u) = J" (1) -grad u) •dJŰ= J div(b •uv)d ü — ti _ ü / (Int) -grad v dfi. A divergenciatétel miatt a jobboldal első tagja ismét eltűnik, mert (9) és ezért J div(b -uv)áíl = J UV b n dT = 0, íj r {Bu, v) = — J (lm) -grad v díí — 11 -I u -(b -grad c)dfl = — {u, Bv) amivel (12)-t igazoltuk. Másrészt, jelölje 6

2 a |b(x) |

2 értékek ü-n vett maximumát, akkor (9) felhasználásával IIB« II grad m |

2 dűsi

! I Igrad u | *d O I rsb*q~

l{Au, u) adódik, amivel (13) is igazolva van. A 2.2. Tételnek nincs analogonja a B operátor esetében: a B operátornak általában egyáltalán nincs sajátértéke. Legyen a G operátor B := iC által definiált. A G operátor már szimmetrikus, mert (Gu,v) =i{Bu,v) = —i{u, Bv) = (u, iBv) = (u,Gv) azaz a konvekciós operátor egy szimmetrikus operátor i-szerose. A következő tétel rávilágít arra, hogy az A, B operátorok fentebb igazolt tulajdonságai egyértelmű megoldhatóságot biztosítanak a permanens konvekciós-diffúziós problémára: 2.4. Tétel: Ha a D L

Z(Q)-1 L

t(Q)-ba képező lineáris operátor olyan, hogy a F-n eltűnő függvényekre kielégíti a Be{Du, m)am • |\u | (14)