Hidrológiai Közlöny 1988 (68. évfolyam)
6. szám - Gáspár Csaba: A konvektív diffúziós operátor matematikai vizsgálata
340 , HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1988. 68. ÉVF., 5. SZÄM 3. (vagy Robin-féle) peremfeltétel: Adott a — = a.(t, x) és g = g(t, x) függvények mellett legyen minden x perempont és t >0 esetén. Ennek speciális esete a 2. (vagy Neumann-féle) peremfeltétel, ekkor a=0. Ez az (1) egyenlettel kapcsolatosan fizikailag akkor értelmes, ha pl. b=0, azaz a transzport tiszta diffúzió. Gyakori, hogy a r perein egy darabján Dirichlet-féle, a többi részén Kobin-féle peremfeltételt adunk. Ezt kevert peremfeltételnek nevezzük. Tekintsük az (1) egyenletet, ellátva valamilyen peremfeltétellel. A következő kérdések merülnek fel. (1) Létezik-e a problémának egyáltalán megoldása? (Egzisztencia) (2) Ha, igen, akkor a megoldás egyértelmű-e? (Unicitás) (3) Ha pontosan egy megoldás létezik, akkor az valamilyen értelemben folytonosan függ-e az az adatoktól? E kérdések vizsgálata több szempontból sem érdektelen, noha fizikailag nyilvánvaló dolgokról van szó. Egyrészt, ha a matematikai problémának pl. nincs megoldása vagy több is van, akkor ez a tény arra hívja fel a figyelmet, hogy a matematikai modell rosszul van felállítva, nem adekvát az adott fizikai problémához, jelen esetben a konvekciós-diffúziós transzporthoz. Másrészt, a matematikai probléma megoldását célzó numerikus módszerek valamilyen formában öröklik a matematikai modell sajátosságait. Az (l)—(3) kérdések megválaszolása döntő mértékben függ attól, hogy az adatok milyen függvénytérben vannak, és a megoldást milyen függvénytérben keressük. Pontszerű források pl. szingularitást okoznak a megoldásban, így nincs értelme a megoldást a folytonos függvények körében keresni. Hasonló a helyzet, lia k szakadásos függvény: ekkor nincs folytonosan differenciálható megoldás stb. Megemlítjük, hogy pl. a permanens (1) egyenlet Dirichlet-féle peremfeltétellel alkalmas függvénytérben korrekt kitűzésfi feladat, azaz az (1)— (3) kérdésekre pozitív válasz adható: ugyanakkor ez a struktúra nem alkalmas tiszta konvekciós problémák kezelésére, amikor is (1) nem tartalmaz másodrendű tagokat (k = 0). Ez utóbbi esetben ui. a Dirichlet-feltétel túlhatározottá teszi a feladatot: peremfeltétel csak r egy részén adható. Jelölje a továbbiakban A ill. B a következő differenciáloperátorokat: Au: — — div& gradw („tiszta diffúziós" operátor) Bu: = b • grad u („konvekciós" operátor) akkor az (1) egyenlet tömören a ~^+Au+Bu = f (3) formába írható, ami felfogható egy absztrakt közön séges differenciálegyenletnek. Permanens esetben a (3) egyenlet Au + Bu=f (4) alakú, ekkor természetesen az u és f függvényeket idő függetleneknek tételezzük fel. A matematikai tárgyalás egyszerűsítése érdekében az A és B operátorok értelmezését komplex értékű függvényeken is megengedjük, noha közvetlen fizikai jelentés csak valós értékű u függvényeknek tulajdonítható. A továbbiakban megvizsgáljuk az A, B operátorok ill. a (3), (4) egyenletek néhány tulajdonságát. Megmutatjuk, hogy — alkalmas függvénytérben — a (4) permanens feladat igen általános feltételek mellett korrekt kitűzésű. Ebből kiindulva előállítjuk a (3) nempermanens feladat megoldását is. Megmutatjuk, hogy a megoldhatóság az A operátor jelenlétén és annak tulajdonságain múlik: ezért változik meg teljesen a feladat jellege tiszta konvekció esetén. 2. A diffúziós és konvekciós operátorok néhány tulajdonsága Jelölje L 2(Í2) az ß-n négyzetesen integrálható komplex értékű függvények terót. Ha f,g £ />, (O), akkor jelölje </,?>:= [ fa Jfl ahol a felülvonás a komplex konjugáltat jelöli. Legyen továbbá " /l|: = ( / l/|2 dí 3) ,/ 2 (/•!/') "t a/, f ás rj függvények L., (ß)-beli skaláris szorzatának, ||/||-t pedig / £ 2(ß)-beli normájának nevezzük. Ismeretes, hogv L.,( Ö) a fenti skaláris szorzásra nézve Hilbert-teret alkot. Tekintsük az A diffúziós operátort. A következő két tétel a diffúziós operátor legalapvetőbb tulajdonságait foglalja össze: 2.1. Tétel: Az A diffúziós operátor szimmetrikus és szigorúan pozitív definit operátor az L 2(Q) tér azon alterén, amelyet a kétszer folytonosan differenciálható, a r peremen eltűnő függvények alkotnak. Azaz, ha u, v ilyen függvények, akkor {Au, v)= (u, Av) (5) továbbá (Au, u) valós, és alkalmas m >0 számra teljesül az (Au, u)sztn- || u || 2 (6) egyenlőtlenség. Az m konstans w-tól függetlenül választható, csak k-tói és í2-tól függ. Vázoljuk a tétel bizonyítását. Nyilván (Au, v)=— I (div k grad u) -v dO = Jn = — I div((/;: grad u) -v) üß + JQ -1- I (k grad u) -grad v d ü.
