Hidrológiai Közlöny 1988 (68. évfolyam)

6. szám - Gáspár Csaba: A konvektív diffúziós operátor matematikai vizsgálata

339 A konvektív diffúziós operátor matematikai vizsgálata* («áspár Csaba Vízgazdálkodási Tudományos Kutatóközpont 1095 Budapest, Kvassay Jenő út 1. Kivonat: A dolgozat a konvekciós-diffúziós egyenlet tulajdonságait és megoldhatóságát vizsgálja matematikai analízisbeli eszközökkel. Bevezeti a diffúziós és konvekciós operátorok fogalmát, és néhány tételben összefoglalja ezek legfontosabb tulajdonságait. Erre támaszkodva megoldhatósági eredményeket ad a permanens konvekciós-diffúziós egyenletre, mind első (Diriehlet-féle), mind pedig kevert peremfeltétel esetében. Általánosan vizsgálja az irodalomban operátor splittingnek nevezett eljárást a konvekciósdiffúziós egyenletre (permanens ós nempermanens esetben egyaránt), és* elégséges feltételt ad annak konvergenciájára, ill. stabilitására. Megmutatja, hogy néhány esetben alkalmas függvónytranszformáció segítségével a konvekciós-diffúziós egyenlet egyszerűbb, egyszersmind numerikusan is jobban kezelhető egyenletre vezethető vissza. Kulcsszavak parciális differenciáloperátor, diffúziós egyenlet, egzisztencia, unicitás, operátor splitting 1. Bevezetés Matematikailag a konvekciós-diffúziós transzportot a ———div k grad w + b -grad u = f (1) ot másodrendű lineáris parciális differenciálegyenlet írja le, ahol u a keresett ismeretlen függvény (hőmérséklet, koncentráció stb.). Az (1) egyenlet érvényes annak az Q egy-két- vagy háromdimenziós tartománynak a belsejében, ahol a transzportfolyamat végbemegy. A k együtthatófüggvény általános esetben egv mátrixfüggvény: az Q tartomány minden egyes x pontjában k(\) egy valós, szimmetrikus és pozitív definit mátrix (inhomogén, anizotrop eset). Homogén esetben k nem függ a helytől, konstans mátrix. Izotróp esetben k skalárfüggvény, k(x) >0 minden ß-beli x pontban. Homogén és izotróp esetben k egy pozitív konstans, ekkor div 4 grad u — kAu, ahol A jelöli a Laplace-operátort. A transzportfolyamat pontosabb leírása-esetén figyelembe kell venni, hogy a k együtthatófüggvény magától az u-tól is függ: ekkor az (1) egyenlet nemlineárissá válik. A továbbiakban ezzel az esettel nem foglalkozunk. A b együtthatófüggvény vektorfüggvény, a konvektív áramlás sebességmezőjót írja le. Általában b a helynek és az időnek egyaránt függvénye. Fontos speciális eset, amikor permanens áramlásban lezajló transzportot vizsgálunk: ekkor b független az időtől. A továbbiakban a b függvényről feltesszük, hogy divb = 0 (2) * Az MHT hidraulikai és Műszaki Hidrológiai Szakosztálya ós a VITUKT közös szervezésében 1987. május 28-án rendezett „Diffúzió a hidraulikában és hidrológiában" szemináriumon elhangzott előadás anyaga. teljesül Q belsejében. A (2) feltétel az áramló közeg összenyomhatatlanságát fejezi ki. Fontos speciális eset lesz még, amikor b-re a (2) egyenlőségen kívül a rot b = 0 egyenlőség is teljesül, azaz az áramlás potenciálon: ekkor alkalmas <p potenciálfüggvénnyel b kifejezhető: b = grad q>. Az/ jobboldal az Q tartományban levő forrásokat írja le:/ a hely és idő adott függvénye. A transzportfolyamat egyértelmű matematikai leírásához az (1) egyenleten kívül még kezdeti- cs peremfeltételek szükségesek. Kezdeti feltételt írunk elő, ha megadjuk az u függvényt a í = 0 időpontban, azaz, megadunk egy u

0 = u

0(x) függvényt, melyre u(0, x)=«

0(x) teljesül az Q tartomány minden x pontjában. Ha permanens esetet vizsgálunk, akkor (l)-ben egyik tag sem függ a t időtől. Ekkor du/dt — O, kezdeti feltételt pedig értelemszerűen nem kell adni. A peremfeltételek u és/vagy dtíjdn* viselkedését írják elő az Q tartomány F peremén (minden egyes t időpontban). Itt 3w/9n* jelöli a F peremen értelmezett konormális irányú deriváltat, melyet a -^~=(&(x)gradtt) -ii egyenlőség definiál, ahol n a kifelé mutató normálvektor. A következő peremfeltétel-típusokat fogjuk vizsgálni: /. (vagy DiricMet-féle) peremfeltétel: Adott g = g(t, x) függvény mellett legyen u(t, x): = g(t, x) minden x perempont és t> 0 esetén.