Hidrológiai Közlöny 1988 (68. évfolyam)

5. szám - Gáspár Csaba: A konvektív diffúziós egyenlet megoldása peremintegrálegyenlet-módszerrel

OÁSPÁR CS.: A konvelctiv diffúziós egyenlet 285 ac(x*) = lim e 2• ^4(x*) (e - 0), ahol A(

x *) az x* középpontú, e sugarú gömbfelület ß-ba eső részének felszíne.) A fentieket egyetlen egyenletben kifejezve: az (5) egyenlet minden u megoldására c(x*)-u(x*) = J fvdü + + J —uvb -nj^r (10) teljesül, ahol (1 c(x*) = , ha x* belső pontja fí-nak a(x*)/(2jt) ha x* perempont 0 ha x* külső pontja ß-nak FÍ'-^-F^Ű [1 — ö(t*-t) •u(t, x*) = = f í — k v + ku-Q-—\-uv -nV/PJ V dn du ) Ha (10)-ben x* perempont, akkor a (10) integrálegyenletben w-nak és du/dn-nek csak a P peremen felvett értékei szerepelnek. Ezt nevezzük az (5) differenciálegyenlethez tartozó peremintegrálegyenletnek. Ha (ö)-re valamilyen peremfeltételt teszünk, akkor ezt (10)-hez is csatolva, innen u és du/dn is meghatározható a teljes P peremen. Az eljárás különösen egyszerű, ha b = 0 (iGáspár, 1982.) Sok gyakorlati esetben ez elég is, amennyiben nincs szükség M-nak ü belsejében felvett értékeire. Ellenkező esetben — ugyancsak (10) alapján — u értéke tetszőleges belső pontban is kiszámítható. Ez azonban már a I lerem-integrálegyenlet megoldásától teljesen független eljárás, mely további egyenletmegoldást nem igényel. Megjegyezzük, hogy (10) direkt alkalmazása M-nak íi belsejében felvett értékei kiszámítására numerikus szempontból akkor előnyös, ha (10)-et csak viszonylag kevés belső pontra alkalmazzuk, tekintve, hogy a (10)ben fellépő integrálok sokszori numerikus kiszámítása eléggé munkaigényes. A peremmegoldás alapján w-nak Q belsejében való előállítására más, gyorsabb eljárások is alkalmazhatók: ezzel a kérdéssel azonban itt nem foglalkozunk. (b) Nempermanens eset: Tsmét a (6) formulából indulunk ki. Legyen u a (4) nempermanens egyenlet egy megoldása, v j >edig legyen v(t,x) w(t*—t, x*—x) alakú. Itt 0 egy tetszőleges, rögzített időpont, x* az ü tartomány egy rögzített belső pontja, ír pedig megoldása a Ä™ -k -Aw+b grad w= ö(t)-ö(x) (11) ót egyenletnek (a jobboldalon a / = 0 időpontra, ill. az origóra koncentrált Dirac-impulzusok állnak). Ekkor v-re teljesül, hogy: ^ - — &-/1u-b-gradwj(x) = = — kAw+\\ -grad w>j(<* -1, x* - x) = — öt'(t) • őx*(x). (12) Innen (6) alapján kapjuk, hogy A baloldalon vegyük figyelembe, hogy du dv d , . és integráljuk t szerint 0-tól + °°-ig. w-ről (11) alapján feltehető, hogy negatív t értékekre w azonosan zérus, így v eltűnik minden t>t*-ra. Innen kapjuk, hogy f j J fvdQdt + j w(0, x)i'(0, x)dü — u(t*, x*) = 0 " n = -J J \k~~v-ku~^—uv \) n\áPdt. o /• <

n A permanens esethez hasonló meggondolásokkal igazolható, hogy ha x* most már nem feltétlen belső pontja í2-nak, akkor a (10)-nek megfelelő esetszétválasztás érvényes, pontosabban: c(x*) -u(t*, x*) = J J fvdQdt -f y

o íi u(0, x)i>(0, x)dí2+ a t* II H^-H^-H'™ (l3

) o r ahol a c(x*) együttható ugyanaz, mint a (10)-ben definiált. Ha x* perempont, akkor (13) a nerr^ermanens (4) egyenletnek megfelelő perem-integrálegyenlet, melyben már csak w-nak és du/dn-nek a P peremen (különböző időpontokban felvett) értékei szerepelnek mint ismeretlenek. (13) jobboldalának második tagja a kezdeti feltételből számítható; (13)-ból a peremfeltételek figyelembevételével meghatározható u és du/dn a teljes F peremen minden t* időpontban. Ennek birtokában w-nak az íí belsejében felvett értékei ugyancsak (13) alapján számíthatók, újabb egyenletmegoldás nélkül. Megjegyezzük, hogy egydimenziós esetben (6) egyszerű parciális integrálással adódik: ekkor a (10)-ben, ill. (13)-ban szereplő peremintegrálok egyszerűen a végpontokban felvett függvényértékek különbségére redukálódnak. 3. A kétdimenziós permanens feladathoz tartozó perem-integrálegyenlet Határozzuk meg a (8) egyenlet által definiált w alapmegoldás konkrét alakját, w-1 keressük ™(x): = TF(x) -exp[—j