Hidrológiai Közlöny 1988 (68. évfolyam)

5. szám - Gáspár Csaba: A konvektív diffúziós egyenlet megoldása peremintegrálegyenlet-módszerrel

286 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 19B8. 68 ÉVF., 5. SZAM formában (itt a b • x: = b

1x

1 + b

2x

2 jelölést alkalmaztuk), akkor innen -4 -Aw + \) -grad ' b X' M Xexp Kaptuk, hogy W kell, hogy kielégítse a lb I

2 4 k egyenletet. Ezt (mindkét változóiszer int) Fouriertranszformálva nyerjük, hogy i*>i 2r

1 4|f|

2 + 4 k v(\) = w(x* — x) = 2nk 7 dv 1 . 1 |b|-(x*-x)-n k——

h—v b n = —— — —-Vs r—X dn 2 4nk |x* —x| ( b -(x* —x) 1 |b Xex

p(" 24—J M x* —x 2 k Innen (10) konkrét alak ja: c(x*).w(x*) = -^L- J /(x) X C b -(x* —x) ) „f |h 24 + i r j du i u \ „ , / 4--———m b n 2jr4 J { dn 2 J X ( b • (x* — x) 1 „ ( |b | • | x* — x | xex

pl

M b—r i— í 4nk J u • 2k [b | -(x* —x) -n f b-(x*-x) 1 „ ( Xe

XH 24 JM' |x* —x | Ibi • I x* — x I 24 «00 = 2nk Jog|x szerint választható, a (10) formula pedig ebben a speciális esetben: C(X*).

M(X*) = T^ F /(x).log(

|

x^

x

|

^.Q

g + + £1 1 r (x*-x)-n ~2nj W I. A nempermanens feladat perem-integrálegyenlete A (ll)-beli w alapmegoldás meghatározásához FoUrier-transzformáljuk x szerint a (11) egyenletet: .7

A ahol í = (í

1

; |

2). Visszatranszformálva: Végeredményben w-re kapjuk, hogy ahol K

0 a nulladrendű harmadfajú módosított Bessel-függvény. Mivel pedig K'

o (»)=-£&) (ahol K

1 az elsőrendű harmadfajú módosított Bessel-függvény), azért innen v-re és dv/dn-re a következő kifejezések adódnak: ahonnan w(t, £)=H(t) -e ahol II jelöli az egységugrásfüggvényt. Visszatranszformálva kapjuk, hogy (x-bty w(t, x) = (44jrí)

_ 1'

2H(t) expí—) ha ü egydimenziós, ill. , , ' ( x — b< 2 v{t, x) = (4knt)~

yH(t) -expf |

X

4 J 1 ] ha Q kétdimenziós. Innen — ellentétben a permanens esettel — a konvekció nélküli tiszta diffúzióhoz tartozó iv függvény közvetlenül adódik b:=0 helyettesítéssel. A (13) formula alakja most már egyszerűen meghatározható, mégpedig: (a) Egydimenziós eset:(Q : = (A, B) véges intervallum) f n c(x*)-u(t*,x*) = f f f(t, x) X 0 A. [(3*-x)-b(t*-t)]

2 4k(t* — t) ~~ X 1 2[7r4(<*-0]"

2 • exp ( X + Xir*.\ (i4) B X A konvekció nélküli tiszta diffúzió speciális esete (14)-ből nem adódik közvetlenül b:=0 helyettesítéssel, mert a K

0 függvénynek a 0 pontban logaritmikus szingularitása van, pedig az 1 jz-hez hasonlóan viselkedik a 0 környezetében. Ennek figyelembevételével az adódik, hogy ekkor |.T= A X* — X 4(nk)

1 l

2(t* — t)

sl

2 •X u - / [ 0 XeX

t4~ 4k(t* ~t

) -)i = A d

L W