Hidrológiai Közlöny 1988 (68. évfolyam)

4. szám - Gilicz András: Szivárgási áramképek meghatározása numerikus konformis leképzéssel

GiLICZ A.: Szivárgási áramképek 225 Az oldalhosszúságokra alkalmazva a Schwarz— Christoff el-far mu l át a következő összefüggést kapjuk: A

kAk

+

1 | -h = n +1 « = \°A j ff (w-a,)™ [J (ai—wfidw (4) «k i = 1 i = í- + 1 A (3), (4) egyenleteket összevonva felírható a következő nemlineáris egyenletrendszer, amelyben az ismeretlenek az a, paraméterek: /

2=v, n-i — ^n-2^1 (5) I. ábra. A kettős transzformáció vázlata gon csúcsainak képei a ?/; képsík valós tengelyén. Az ocí kitevők a poligon belső szögeiből számíthatók: a, = 1 (2) Cj és C

2 pedig komplex állandók, amelyek a későbbiek során két egymásnak megfeleltetett tárgy és képpont koordinátáiból kerülnek meghatározásra. A második transzformáció w = sn-t, ahol az sn szimbólum a sinus amplitudinis függvényt jelöli (Bowman, 1901). Ahhoz, hogy az első transzformáció teljes legyen, ismerni kell az a

t paramétereket, valamint a C\ és C

2 állandókat. Az egyik legnagyobb gondot éppen az a

t állandók meghatározása jelenti. Ez úgy történhet, hogy értéküket kapcsolatba hozzuk az eredeti poligon oldalhosszúságaival. Felállíthatjuk a következő arányokat (Kantorovics, 1958): A

M . 1 A

3A

4 1 . A,A, | 2' | A,A

2 I | An—%An —i A,A, An(3) Ezen egyenletrendszer megoldására több lehetőség kínálkozik, így a gradiens módszer, a Newton— fíaphson-módszer, iteráció, vagy a szimplex módszer (Howe, 1973). Az (5) egyenletrendszer megoldása során felmerül a (4) egyenletben szereplő improprius integrálok kiszámításának gondja, integrandusuk ugyanis a határokon a végtelenbe tart. Kantorovics (1958) módszerével ez a nehézség elhárítható. Az eljárás a (4) típusú integrálokat két rószintegrálra bontja, ezek közül az egyik elemi úton, a másik pedig valamelyik numerikus módszerrel kiszámítható. Mivel a (4) egyenlet szerint az integrálás a

k és «jt

+

1 között történik — azaz a valós tengelyen — csak valós mennyiségek szerepelnek a számításban. Az a, paraméterek birtokában egyrészt meghatározhatjuk a t síkon levő téglalap oldalméreteit, másrészt a C\ és C

2 komplex állandókat. Az 1. ábrát szemügyre véve látható, hogy az a

z paraméterek valamelyikének értéke l/£

2-tel egyenlő. Ilyen elrendezés biztosít kölcsönös megfeleltetést a z, a w és a t síkok között. Kiszámítható tehát k, ennek ismeretében pedig (táblázattal avagy numerikusan) a teljes elliptikus integrál értéke K, ill. annak ko mj)lementere K'. A C

x és C

2 állandók két egymásnak kölcsönösen megfeleltetett tárgy- és képpontpárból számíthatók. Felírva ezekre a Schwarz—

Christoffel-formulát: Zk ilk n =C\ j JJ (w—a

i)*

idw+C

2 0 i = 1 ak + 1 « Zk Ebből: i+i=<?i J [J (w-a,)*

1 dw + C

2 ü i = 1 (6) ak

+

l n j //(»-«,)" dw a

k i = 1 Zk + 1~Zk