Hidrológiai Közlöny 1988 (68. évfolyam)
4. szám - Székely Ferenc: Kutak depressziójának számítása korlátozott kiterjedésű, rétegzett hidrogeológiai rendszerekben
SZÉKELY F.: Többszintes tároló kútdepressziója 219 változó G értékek hatása a számítás folyamán explicit módon megjelenik. Ez a szeparált vizsgálat egyúttal fizikai magyarázatot is ad a szabad felszínű rendszerekben megfigyelhető késleltetett víztelenedésre (delayed yield; Boulton, 1954), továbbá az egyes, igen nagy piezovezetőképességü hidraulikai szintekben kialakuló gyorsított nyomásterjedésre, ill. nyomáscsökkenésre. A javasolt megoldás menete a következő: A k = n sorszámú hidraulikai szintet megcsapolva az s/c(r, t) depressziót az alábbi összeg alakjában keressük: Sk(r,t) = hk( r,t,G n) + u k(r,t), (5) ahol hk(r,t,G n) olyan, homogén piezovezetőképességü rendszerben kialakuló depresszió-eloszlás, amelyben az egyes szintek Gt értéke megegyezik a megcsapolt réteg G n hidrodiffúzivitásával, az egyéb paraméterek pedig változatlanok; Uk(r.t) — a változó Gk paraméter, tehát a tetszőleges Sk eloszlás hatását tükröző eltérésfüggvény. A hk(r,t,G n) függvény pontos, analitikus meghatározására két módszer is ismeretes. Székely (1978) a Halász (1975) által kidolgozott //aw&eZ-transzformációs eljárás algebrai módszerét egészítette ki a Laplace-transzformációval, és így állította elő a keresett megoldást. Hemker (1985) ugyanezzel a kettős integráltranszformációval alakította át a kiindulási differenciálegyenlet-rendszert algebrai úton megoldható formára, az operátoregyenletrendszer megoldása azonban mátrixalgebrai úton történik. A zárt alakú megoldás a következő képlettel adható meg: K h k(r,t,Gn) = ( 1/2) 2 Ak,iW[r*l(4G nt), rV{\ (6) i = í ahol W(x,ß) a Hantush és Jacob (1955) által bevezetett kútfüggvény. A (6) összefüggésben szereplő A k,i és V/ együtthatók' továbbá a W(a, ß) függvény kiszámításáról a hivatko" zott szakcikkek részletes ismertetést nyújtanak. Az egyes rétegek eltérő piezovezetőképességének hatása egy bizonyos t* idő elteltével elenyészik, vagyis a rendszer úgy viselkedik, mintha állandó, G a átlagos hidrodiffuzivitású vízadó szintekből állna, ahol G a a rétegzett rendszer összegzett transzmisszibilitásának és tárolási tényezőjének a hányadosa. A fentiek szerint tehát s k(r,t) % h k(r,t,G a), ha t> /* (7) Az (5) összeget behelyettesítve az (1) egyenletbe, az Uk(r,t) függvényre egyszerű átalakítások után az alábbi egyenletrendszert kapjuk: (T klr)-jL{r -J_[« t( r,f)]} + A[«*_i(r,í)—Uk(r,t)] + Bk+i[u k +i(r,t)—u-(r,t)] + + (TklGn—Sk)~ r[hk(r,t,G n)] = =S k-^-[u k(r,t)] (8) Peremfeltételek: u 0(r,t) = u Kv x(r,t) = u k( ™,t) - h< , = lim (2 nrTk)-^—[v-k(r,t)] = 0 (10) r 0 ()r Kezdeti feltétel: Uk(r,0) = 0 (11) Az u eltórésfüggvényre felírt (8)—(11) egyenletrendszer tulajdonságai közül az alábbiakra hívjuk fel a figyelmet. A zérus perem- és kezdeti feltótelekkel jellemzett (8) parciális differenciálegyenletben a gerjesztőforrás szerepót egyedül a bal oldali utolsó tag képezi. Matematikai szempontból ez egy külső eloszlatott terhelésnek (forrásnak vagy nyelőnek) felel meg. Ennek a virtuális terhelésnek az intenzitása arányos az ismert h függvény időbeni változásával, az arányossági tényező szerepét pedig a homogén piezovezetőképességü rendszerre adódó Tk/On látszólagos, valamint a valóságos Sk tárolási tényezők különbsége játssza. Az ily módon definiált, előjelében is változó, eloszlatott virtuális külső terhelés hatása a rendszerben viszonylag gyorsan kiegyenlítődik. A térbeli eloszlás is rendkívül kiegyenlített, lapos felületet mutat, amely mentes az eredő depressziónak a megcsapolt rétegében megfigyelhető logaritmikus szingularitásától. Ez utóbbi megállapítást, a numerikus teszteken túlmenően alátámasztja az a tény is, hogy a megcsapolt rétegben a virtuális források értéke zérus, ezért itt csak a szomszédos rétegek terheléséből származó ós további kiegyenlítődést mutató nyomásváltozások alakulnak ki. A virtuális terhelés előjele negatív, ha a tényleges Sk érték meghaladja a látszólagos tárolási tényezőt (mint pl. a korábban már említett szabad felszínű rétegekben). Ebben az esetben u lokális értéke ós a teljes s k(r,t) depresszió is csökken, vagyis kialakul az időben késleltetett vízleadás (Boulton,' 1954) jelensége. Ellenkező esetben a depresszió növekedésének az üteme a kérdéses rétegben fokozódik, vagyis gyorsított készletcsökkenést tapasztalunk. A fentiekből következik, hogy a h függvény az eredeti rendszerhez képest módosított S tárolási tényezőre (^-transzformáció); az u függvény pedig eltérő eloszlású megcsapolásra (^-transzformáció) vonatkozik. Az ismertetett megoldási módszert ezért /SQ-transzformációs eljárásnak nevezzük. 2.3. Az u függvény numerikus meghatározása diff erenciamódszerrel A keresett s k(r,t) teljes depresszióval ellentétben a (^-transzformációval előállított u függvény térbeli görbülete még a megcsapolt rétegben is igen kicsi, ezért lehetőség van a (8)—(11) egyenletrendszer kielégítő pontosságú közvetlen numerikus megoldására. A rendelkezésre álló módszerek közül iH most a leginkább elterjedt és legegvszerűbb numerikus eljárást, a véges differenciák módszer.' mutatjuk be. Az r szerint korlátlan kiterjedésű szivárgási tartományt a h függvény elhanyagolhatóan kis értékéhez tartozó, és így elegendően nagy R sugarú, de véges tartománnyal helyettesítjük. Gyakorlati feladatok esetében általában elegendőnek bizonyul az R = 100 000 m maximális hatástávolsággal számolni, de szükség esetén természetesen
