Hidrológiai Közlöny 1988 (68. évfolyam)
1. szám - Ujfaludi László: A diffúzió a különböző fizikai megközelítések tükrében
14 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 198(1. 68. ÉVFOLYAM, 1. SZAM tenciál általában a következő függvénykapcsolattal jellemezhető: ju= u(q, T). A többváltozós függvények vektoranalíziséből ismert összefüggés szerint: du du gradn = gradg + j }qT gradT (11) Mivel feltételeztük, hogy ix = t kivéve az összes intenzív mennyiség homogén eloszlású, grad T — 0; a tömegtranszport áramsűrűsége ezzel: jt=L m grad/í = L Q Definíció szerint a dfi dp grad o -L P = DM (12) (13) de kifejezést molekuláris diffúziós tényezőnek nevezzük. A diffúziós áramsűrűség tehát: j e= —-Dj/gradg (14) alakban írható, ami a (2) és (3) alakban felírt Fick-féle első törvénnyel ekvivalens. Ezt visszahelyettesítve a (10) kiinduló egyenletbe, a molekuláris diffúzió alapegyenletét kapjuk: de dt -div/>Mgradf)= 0 Ha figyelembe vesszük, hogy a koncentráció: G = ha dC — + v grad C = div DM grad G (20) (21) dt Ha DM — állandó, a fenti egyenlet dO — —-—l- v grad G = DM div grad G ot alakban írható. Egy példa a kereszteffektusokra: a termodiffúzió Régi kísérleti tapasztalat, hogy ha egy gúztérben két különböző hőmérsékletű felület helyezkedik el, akkor a nagyobb molekulasúlyú gáz a hidegebb, a kisebb molekulasúlyú a melegebb fal felé diffundál (4. ábra). A hidegebb fal közelében tehát a nagyobb, a melegebb fal közelében pedig a kisebb molekulák koncentrációja lesz nagyobb, vagyis a gáztérben koncentrációgradiens jön létre. Ennek hatására viszont molekuláris diffúzió indul, amelynek iránya ellentétes a hőmérsókletkülönbsóg-okozta diffúzióval. A gázmolekulák ugyanakkor energiát is transzportálnak a melegebb felületről a hidegebb felé. Hasonló folyamat természetesen folyadékokban is lejátszódhat, de ott sokkal lassúbb. T, (15) o o o • < O „ o ° ' n OT1 < T2 Q+Qf Qt ahol et a folyadék tömegsűrűsége, akkor (15)-öt p/-fel osztva az alapegyenlet ismertebb alakját kapjuk: -^--divZ>MgradC=0 (16) ot Ha DM = állandó, akkor a (16) egyenlet ^ —DM div grad C, vagy =DMV 2C (17) 4. ábra. Vázlat a terrnodiffúzió jelenségének szemléltetésére A tömegtranszport tehát a hőmérséklet-gradiens és a koncentrációgradiens által létrehozott transzport összege, ennek megfelelően a (6) mérlegegyenlet áramsűrűségtagja is két részből áll: f\ + div( Z/gTgradT -f L e/ I grad /i) = 0 d t d t alakban írható; ez Fick második törvénye. Konduktív transzport konvektív áramlásban Ha a konduktív tömegtranszport áramló közegben megy végbe, a teljes áramsűrűség a konvektív és a konduktív áramsűrűség összegeként írható fel (Fényes, 1971), vagyis (8) és (14) felhasználásával: j=Cv —DM grad C, ezt a (6) mérlegegyenletbe beírva a -^+div(Cí7-X»ii/gradC) = 0 (18) ot egyenletet kapjuk. Ismét a vektoranalízisből ismert összefüggés szerint: div Gv-C div v + v grad C, (19) de inkompresszíbilis folyadék esetén div ^ = 0, ennek figyelembevételével (19)-et (18)-ba helyettesítve a konvektív diffúzió jól ismert alapegyenletét kapjuk: dt Figyelembe véve a (11) összefüggést, egyenlet a következő alakra hozható: -^-=div(Z)*gradí ,+DMgradg), ahol: DM értelmezése a (13) szerinti, d[J, (22) (22) (23) (24) a termodif fúziós tényező. Ha Dm és D* állandó, akkor (23)-nak egyszerűbb alakja írható fel: dt •=D*[/ 2T+DMV 2Q (25) Az energiatranszport egyenlete (22) analógiájára: de —KJ— + div {LergvadT + L C /,grad /i) = 0 (26) ot ahol az e energiasűrűség e = cTe alakban írható, c a közeg fajhője. Az energiasűrűség idő szerinti deriváltja: de dT de ~dT= C Q-DT +c T"dt Ezt (26)-ba beírva, valamint felhasználva (ll)-et, a következő egyenletet kapjuk:
