Hidrológiai Közlöny 1986 (66. évfolyam)
6. szám - Vágás István: A nem-euklideszi vízmozgások
320 "HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1906. 66. ÉVF., 6. SZAM Itt k a Bolyai geometriai rendszer illető esetre érvényes görbületi alaphossza. A komplex szám Bolyai geometriai kifejezése (3) nyomán: , b • ö z = sh -— hi -th — k k (4) Mivel a th a/kérték 1-nél nagyobb nem lehet, következésképpen: Bolyai geometriai pont nem ábrázolhat 1-nél nagyobb képzetes résszel rendelkező komplex számot. 3.2 A gömbi geometriában A derékszögű gömbháromszögre érvényes öszszefüggés: tg tga = sin , és így A (a) — tg — és B(b) — sin — o r r b ., a z=8in \-t -te — r r (5) y(x) • e*/* + O, • e~ xl k (6) egyenletű vonalakat — amelyek közé beszámítjuk a koordinátatengelyeket, és az x = const, egyenletű, tehát az y tengellyel euklideszi módon párhuzamos egyeneseket is — exponenciális vonalaknak, nevezzük, ahol C x és C 2 valós szám, k pedig zérusnál nagyobb valós szám. Ha az A pont a koordinátarendszer kezdőpontjában van, a B pont koordinátái XB és yji, a C pont pedig az x tengelyre Xc abszcisszájával illeszkedik, exponenciális vonalakból álló háromszöget két egymásra merőleges euklideszi egyenes, mint két befogó alkotja. Az A és B pontokon átmenő átfogó egyenlete: (3. ábra) y=VB sh xb k •sh — hj (7) E függvény differenciálhányadosának kezdőponti értéke adja az alapvető tangens-összefiiggést: VB tgoc = , XB ^, amiből A (á) = ^ B és B(b) = sh-^IC Az y tengely bármely pontján lévő A pont esetén is igazolható (3. ábra): Ebben r a gömb sugara. A (3) szerinti kifejezés a gömbi geometriában: 3. ábra. Derékszögű, vagy annak összefüggéseivel a tg a szempontjából egyenértékű háromszögek euklideszi síkon értelmezett exponenciális egyenletű vonalak közt A{a) = Y és B(b) = sh y, így , b .a z = sh -—M- — k k (8) Most az látható, hogy a sin b/r érték maximuma az 1, következésképpen gömbi pont nem ábrázolhat 1-nél nagyobb valós résszel rendelkező komplex számot. 3.3 Az exponenciális vonalak geometriájában Az euklideszi sík x-y ortogonális koordinátarendszerében ábrázolt (Vágás, 1982) Az euklideszi síkon adott pont tehát más komplex számot ábrázol akkor, ha az euklideszi egyenesek geometriai feltételei adottak, és mást akkor, ha az exponenciális vonalak közötti viszonyokat tekintjük ábrázolásunk alapjának. Az utóbbi esetben a k alaphosszúság értéke is befolyásoló. 4. Komplex változós függvények ábrázolása Ha a z = x + i -y komplex változónak függvénye a w = cp + i-ip komplex változó, tehát w = í(z), akkor ez a függvénykapcsolat azt jelenti, hogy az x — y változók koordinátarendszerében y = y(x) alakú függvényekkel kifejezhetjük, és a fennálló geometriai rendszerben ábrázolhatjuk a cp = const. és a 1p= const, feltételt kielégítő és az / műveleti utasítás végrehajtásával meghatározható vonalak seregét. Ha az ábrázolás euklideszi rendszerben történik, vagyis A(y) = y és B(a;) = x, úgy a komplex változós leképzések eddigiekben is ismert esetei valósulnak meg. Más geometriai rendszerekben a komplex szám (3) egyenletben kifejezett értelmezése szerinti ábrázolásmód érvényes. A w — z identikus leképzés tehát az euklideszi rendszerben azt jelenti, hogy a <p = const, vonalak seregét az x=const., a xF= const, vonalak seregét pedig az y = const, vonalak serege képzi le. Ugyanez a Bolyai geometriában a &-ban arányosított x és y léptékű tengelyek mellett sh x és th y transzformáció szerinti aránymódosítással jár. A gömbi geometriában az x tengelyen a sin x, az y tengelyen a hengeres vetítésnél alkalmazott tg y szerinti aránymódosítás jön létre. Az exponenciális vonalak euklideszi rendszerében az y tengelyen változatlanok a távolsági arányok, viszont az x tengelyen sh x szerintiek lesznek. Tekintsük további, most már a hidraulikai alkalmazása miatt fontos példaként a w = \n(z — z 0) komplex változós leképzést, amelyben w = cp + i • xp,
