Hidrológiai Közlöny 1986 (66. évfolyam)

6. szám - Vágás István: A nem-euklideszi vízmozgások

VÁGÁSI.: Á nem-euklideszi vízmozgások 321 és a kezelhetőbb kifejezés miatt most használjunk z

0 pólusú (z — z

0) = r -e

10 összefüggés szerinti poláris koordinátarendszert. A változók szétválasztásával adódik a cp =ln r és a xp = •& kettős összefüggésrendszer. Vizsgáljuk a y> = const, vonalrendszert. Euklideszi geometriában ez a z

0 komplex számmal jelzett pontban egyesülő sugársort határozna meg. Az exponenciális vonalak geometriájában — legyen az z

0 komplex értéket ábrázoló A pont az általánosság sérelme nélkül az y tengelyen, yA ordinátával — az A ponton átmenő sugársort a következő egyenletekkel jellemezhetjük: A •& = 0-hoz tartozó vonal a (6) egyenlet zérus differenciálértékéhez rendelt. Ennek feltétele, hogy C

1 = C

2 = yA/2 legyen. Ekkor y(x) = yA •eh, x/k. Ehhez az y tengelyre szimmetrikus alapvonalhoz szuperponálhatók a (7) egyenlet szerinti sh egyenletű vonalak. Az így kialakított sugársor mindegyik vonala exponenciális vonal, így kielégíti a (6) egyenletet. Ha akár(7

1 = 0, akár C

2= 0, az A ponton átmenő „sugár" az y = yA •e

±

x"

e egyenletű vonal. Egyébként C\ és C

2 alakulásától függően lesznek c7t-típusú és s/i-típusú vonalak a sugarak között (4. ábra). A komplex változós leképzések alapegyenletei, a CauchyRiemann egyenletek csak az euklideszi geometria körülményei mellett érvényesek és valósítanak meg konform leképzési feltételeket. Minthogy a (3) szerint általánosságban az A és B függvények veszik át az x és y változók helyét, ezért a Cauchy-Riemann egyenletek e változókat tartalmazóan írhatók át: c)(p ~JB dep Ta dB dx dA dip dA dA (Up dB dy dB es dy dB dx (9

) A Bolyai geometriában, a gömbi geometriában és az exponenciális geometriában ezek az értékek így alakulnak: Bolyai Gömbi Exponenciális dB 1 i

x Jc ~k 1 x 1 7 X cos— —- -eh— r r k k dx 1 i

x Jc ~k 1 x 1 7 X cos— —- -eh— r r k k dA 1 1 1 1 1 dy * he

if k r y k cos

2— r Ugyancsak közvetett differenciálással jelölhetjük a hidraulikai folytonossági feltételt is, amelyben v az áramlási sebességet jelöli, v

x és v

y pedig tengelyirányú sebesség-összetevőket: dv

x dB | dvy dA dB dx dA dy (10) 4. ábra. A (z — z

0) = r • e' •<> összefüggés felhasználásával elvégzett iv=ln(z—z

0) komplex változós leképzés =

const, vonalai az exponenciális vonalak geometriai rendszerében. A vonalak hidraulikai jelentése: az yA mélységű ponton egy, vagy többkutas pozitív és negatív leszivással előállítható leszivásí vízszinvonalak serege A bemutatott exponenciális sugársor hidraulikai jelentése: egy vagy több talajvízkút által létrehozható leszívási vízszínvonalak összessége — ide értve a „negatív" leszívás, vagyis a feltöltés esetét is. Itt tehát most nem áramvonalak áramképe adódott, hanem minden egyes komplex változósan leképzett vonalhoz különböző áramlási esetek tartoznak. A k értékét — amit a hidraulikában k[> jelölés különböztet meg a szivárgási tényezőtől, kjytői — a legegyszerűbben úgy határozhatjuk meg, hogy a „leszívási hatástávolság"-ként ismert értéket e = 2,71-gyei osztjuk. 5. összefoglalás Komplex számok, komplex függvényváltozók különböző geometriai rendszerekben különféleképpen ábrázolhatók. Az eltérő leírás lehetőségeit a hidraulika is hasznosíthatja. A módszer elméleti alapja az (1) alatti Euler tétel matematikai tartalma, a matematikai tartalom geometriai vonatkozásainak pedig többfajta, egyenértékű értelmezési lehetősége. A nem-potenciálos folyamatok leírása és komplex változós ábrázolása számára a nem-euklideszi geometriai értelmezések szélesebb körűen is alkalmasnak ígérkeznek. Az euklideszi feltételektől eltérően leírt vízmozgásokat nem-euklideszi vízmozgásoknak nevezhetjük. Ilyenek, mint bemutattuk: léteznek. IRODALOM Szász Pál (1973): Bevezetés a Bolyai—Lobacsevszkij féle geometriába. Akadémiai Kiadó, Budapest. Vágás István (1982): Az exponenciális egyenletű vonalak nem-euklideszi tulajdonságainak műszaki értelmezése. Alsótiszavidéki Vízügyi Igazgatóság kiadványa, Szeged. Kézirat beérkezett: 1987. január 5. Közlésre elfogadva: 1987. február 7.