Hidrológiai Közlöny 1986 (66. évfolyam)
6. szám - Vágás István: A nem-euklideszi vízmozgások
VAGASI.: A nem-euklideszi vizmozgások 319 A nem-euklideszi vízmozgások Vágás István Alsótiszavidéki Vízügyi Igazgatóság 6701 Szegőd, Pí. 390. Kivonat: A komplex szám Euler-értelmezése szögfüggvónyeket foglal magában. A szögfüggvónyek geometriai jelentése viszont attól a geometriai rendszertől függ, amelyben értelmezték őket. A komplex szám ábrázolásmódja ezért geometriai rendszerenként eltérő. Az euklideszi feltételek szerinti komplex változós elemzés a hidromechanika ismert módszere. Komplex változós elemzés azonban nem-euklideszi feltételek között is lehetséges. Az ennek megfelelő vízmozgásokat nevezzük nem-euklideszi vízmozgásoknak. Kulcsszavak: nem-euklideszi vízmozgás, komplex változó 1. Bevezetés A szögfüggvények, vagy az exponenciális függvény az euklideszi geometriában betöltött szerepüktől függetlenül meghatározott matematikai függvények. A komplex számok értelmezésére szolgáló (1. ábra) z = r •e i í > = r - (cos D + i • sin &) — x + i -y (I) y =r-sint& 1. ábra. A komplex-szám Euler-féle ábrázolása euklideszi síkon bői és a szög melletti b befogónak B(b) függvényé bői képzett hányadosa: (2. ábra) A(a) tga = B(b) (2) 2. ábra. Derékszögű háromszög általános geometriai alakja Felhasználva a sina = tg« t'l+tg 2« es a cos« = Euler összefüggés, (amelyben r = V x 2 + y 2,) független a benne szereplő szög függvények geometriai jelentésétől. Minthogy a szögfüggvények jelentése az euklideszi és a sokféle nem-euklideszi geometriában geometriánként eltérő, ennek következtében a komplex számokat nemcsak az eddig ismert euklideszi ábrázolásmódban, hanem ettől eltérően — a sinus és cosinus függvények mindenkori értelmezésmódjának megfelelően — még igen sokféleképpen ábrázolhatjuk. A tanulmány kidolgozza a komplex szám különböző ábrázolásmódjait és bemutatja ezek hidraulikai jelentését is. 2. A szögíüggvények általánosabb származtatása Határozzák meg valamely geometriai rendszerben a derékszögű háromszöget A, B, C csúcspontokkal szembeni a és b befogói, valamint c átfogója, illetve a csúcspontoknak megfelelő a, ß, R szögei. Értelmezze az a szög tangens függvényét a szöggel szemben fekvő a oldalnak A (a) függvényó= azonosságokat, megkapjuk ezek Kl+tg 2« kifejezését is: sin«= ; cos« — ; B — VA (a) 2 + B(b) 2 Ii K A 2 komplex szám ezekkel kifejezve: z=R •e i-' ,—R - (cos a + i -sin a) = B(6) + i-A(o) (3) Konkrét esetben az A és B függvényeket meg kell határozni. 3. Az általános szögíüggvények meghatározása 3.1 A Bolyai geometriában Ismeretes a Bolyai geometria derékszögű háromszögeire meghatározott összefüggés (pl. Szász, 1973): th tg« = sh a -f—, amiből ^4(a)=:th ~ és B(b) — sh ~ b k k Y
