Hidrológiai Közlöny 1986 (66. évfolyam)
4-5. szám - Kontur István: Sztochasztikus fedőréteg modellek a talajvízállás előrejelzésére
KONTUR I.: Sztochasztikus fedőréteg modellek 251 A paraméterek meghatározására ismét a momentumok adnak lehetőséget: M( = és Z> 2(|) = ~ % T. (19) A | folytonos valószínűségi változó természetesen ebben az esetben is az idő. A talajvízmélység hatását a paraméterek tartalmazzák: K(z) = -f^-^ es m (z) = (20) A = /.t • Z = -7- 2 = r ZÍ2 tT-Jí í (26) Végeredményként tehát azt kaptuk, hogy a talajfelszíntől a talajvízig történő leérkezés átlagos időtartama (?) és az alapul választott időegység hányadosa a Poisson eloszlás A paramétere. Az átlagos leérkezési idő természetesen a z talajvízmélység függvény és így ?.= X(z), tehát (24) összefüggés megfelel f t(z) ós g t(z) egységimpulzus válaszfüggvényeknek. 2.4 Folytonos idő, folytonos állapot A folytonos idő és folytonos állapot esetén a diszkrét állapotú rendszerből származtatjuk. Legyen akkor „Ív, K = — = — es m = z 7 2 X> 2(|) Z> 2(l) így az f(z, t) illetve g{z, t) függvények (18) alapján: 2.3 Diszkrét idő, folytonos állapot A folytonos állapotú rendszert úgy képzelhetjük el, hogy talajfelszíntől a talajvízszintig terjedő z vastagságú talajhasábot homogénnak kezeljük. Kiindulhatunk a binomális eloszlásból, ami a Poisson eloszlás egyik származtatási útja (Prékopa, 1962; Rényi, 1966). A z = o szinten megjelenő vízrészecske, vagy antirészecske q valószínűséggel kerülhet a kifolyási szelvénybe, vagyis a talajvízbe és 1—q valószínűséggel maradhat a fedőrétegben. Ezt a (gondolat) kísérletet N-szer elvégezve a jól ismert Bernoulli (binomiális) eloszlást kapjuk: = = )?*(!-?)*-»; 4 = 0, 1,2, ...,N (22) A valószínűségi változó itt az az időpont, amikor a rendszer állapotát vizsgáljuk. Növeljük N értékét a végtelenségig úgy, hogy közben az N • q szorzat állandó maradjon N-q=X> 0. (23) A végeredmény mint ismeretes (Rényi, 1966) a Pi(X) = ^r-e~ K, i = 0,1,2,... (24) A paraméterű Poisson-eloszlás. Mint ismeretes (Rényi, 1966) a Poisson-eloszlás várható értéke és szórásnégyzete is A-val egyenlő: JT(f) = Jl; D 2(£) = A. (25) A A paraméter fizikai magyarázata az alábbi módon adható meg. Feltételezzük, hogy A=/z-2, tehát a talaj vízmélységgel A lineárisan arányos, az arányossági tényező IIAz, vagyis az alapul választott At idő egység alatt megtett átlagos úthossz. Az átlagos úthossz az átlagos vízmozgási sebesség v alapján számolható. v -t V 1 v ^ y(z, t)=(27) 2 r(z) ahol F(z) az Euler-féle gamma függvény. A (27) függvény az f(z,t) és g(z,t), a Dirac-delta függvényre adott válasz. A (27) képlettel meghatározott függvény momentumait nem elemezzük, mivel itt csak a gamma eloszlásfüggvény formális átírásáról van szó. 3. Csapadék és párolgás hatások összetétele Láttuk, hogy folytonos idő felvétele esetén f(z,t) és g(z,t) volt az egységnyi csapadékra, illetve párolgásra adott válaszfüggvény, míg diszkrét idejű rendszer esetén ezek a függvények /,(z) és g t(z) voltak. Bármilyen P(t) és E(t) csapadék és párolgási idősor, illetve Pj és E t csapadék és párolgás sorozatra a talajvízállás megváltozás a konvoluciós integrál, illetve a konvoluciós szumma segítségével állítható elő: TT— S0 + — f E(t-x)-g(z, t) dr, (28a) n j es Azí—zí + 1~zí= —— ^ Pi-k-fk(z) + k = 0 1 °° + — 2 (29a) k = 0 ahol n — a talaj hézagtónyezője. Amennyiben a konvoluciós integrálok, illetve szummák magfüggvényei f(z,t) és g(z,t) illetve f t(z) és g t(z) nem egyenlőek, úgy a csapadék és párolgási függvények nem vonhatók össze. Ezzel szemben ha a beszivárgó vízrészecskéknek és az elpárolgó antirészecskéknek a mozgási törvényszerűségei azonosak, vagy annak vehetők, akkor: es h(z, t)=f(z, t) — g(z, t) hi(z)=fi(z) = g t(z), (30) vagyis a konvoluciós integrálban, illetve összegekben elegendő a csapadék és párolgási idősor különbségével számolni:
