Hidrológiai Közlöny 1985 (65. évfolyam)
1. szám - Dr. Reimann József: Megjegyzések a korreláció- és regresszióelmélethez
60 Hidrológiai Közlöny 1985. 1. sz. Dr. Reimann J.: A korreláció- és regresszióelmélet pontban a relatív gyakoriság segítségével beesülhető, így X(x,y) is becsülhető. A X(x, y) kapcsolatfüggvény különböző (x,y) pontokban különböző mértéket (szorosságot) mutathat az X és Y változók kapcsolatára pozitív kvadránsfüggőség esetén. Ez sokszor önmagában is fontos információt jelenthet műszaki szempontból. Kívánatos lehet azonban X és Y kapcsolatát átlagos mérőszámmal jellemezni. Ebből a célból képezhetjük a X(x, y) függvény valamilyen súlyozott középértékét. Ha a szóbanforgó eloszlások folytonosak, akkor célszerűnek látszik a oo oo J f [H{x,y)-F{x)0(y)lAxáy - oo — oo — oo — oo oo oo J J {min [F(x),G(y)]-F(x)G(y)}dxdy — oo — oo oo oo f f [H(x,y)-F(x)G(y)]dxdy= (10) - oo — oo oo oo // — oo — oo oo oo II — oo — oo [H + (x, y)-F(x)G(y)]dxdy= {min [F(x), 0(y)] - F(x)G(y)} dx dy-. 6+010-2 (H) Mivel II + (x, y) = min[F(x),G(y)s :Il(x, y), a (9) formulából következik, hogy g + a= q A (9) összefüggés alapján: 0<A=— 1— <1 (ha H>FG) 6+ Mivel következik, hogy Aa= 6 (12) (13) Megj egyezzük, hogy ha JI(x, y) = min [ F(x), G(y)] akkor a ((5) összefüggés alapján F=G~ 1[/' ,(x)] és amennyiben az y=G~\F(x)] kvartilis görbe egyenes, akkor = ] ez esetben A regressziós görbe kiszámítása pozitív kvadrásíüggőség jisetén Az Y valószínűségi változó A-re vonatkozó regressziós görbéje az Y feltételes várható értéke az X = x feltétel mellet t: y(x) = E( Y\X=x) (14) oo oo f f {min[F(x),G(y)~F(x)G(y)}dxdy oo — oo I oo J J X(x, y){min [ F(x) ,G(y)]- F(x) G(y)} dx dy átlagos mérőszám használata. A A mérőszám azt fejezi ki, hogy a H(x, y) és a H 0{x,y)=F(x)G(y) félületek közötti térfogat hány százaléka a H +(x,y)=mm[F(x),G(y)] és a H 0(x,y) = F(x)G(y) ,,határ-felületek" közötti térfogatnak. V. Hoeffding kimutatta a következő összefüggés érvényességét (lásd pl. [2J) E(X-Y)=É(X)F( Y)= cov (X, Y) = qa io. 1 ahol q a korrelációs együttható, <Xi ill. a 2 az X ill. Y változó eloszlásának szórása. Ha ).(x, -y) = 1, azaz IJ(x, y)=min \F(x), G(y)]*=H +(x, y), akkor a (10) formula alapján A műszaki gyakorlatban ezt a függvényt általában a legkisebb négyzetek módszere segítségével egyenessel vagy parabolával közelítjük. Ha a regressziós görbe — a kétdimenziós minta pontjainak elhelyezkedése alapján — szemlátomást nem lineáris jellegű, akkor a regressziós görbe számítása meglehetősen körülményes. Az alábbiakban egy módszert ismertetünk, amelynek alapján pozitív kvadránsfüggőség esetén a regresszió görbe — legalább is jó közelítéssel — minimális számolással megrajzolható pusztán a vetület eloszlások ismeretében. Módszerünk alapja a következő: Abban az esetben, ha az (5) formulában X(x, y) = = A — const, H>FG, akkor ~ H(x, y) = X min [F(x), G(y)] + (1 - X)F(x)G(y) (15) Ez esetben az Y valószínűségi változó feltételes eloszlásfüggvénye az X=x feltétel mellett: ß + (l-X)0(y), ha F{x)^G(y) 1(1 -X)G{y), ha F{x)>G(y) Az y változó A-re vonatkozó regressziós görbéje ekkor: y(x)=E(Y\X=x)^= (16) oo / = / ydG(y\x) = OO = (1 -A) J yg(y) dy + 1G~\F(x)}= — oo = AG~ 1[/'»] + (l-A)ß(F) (17) Az y(x) függvény értékét tehát tetszőleges x -helyen megkapjuk, ha a kvantilis görbe értékének A-szorosához hozzáadjuk Y várható értékének (1-A)-szorosát. A (17) összefüggésből adódik, hogy ha A=l, azaz H(x,y) = min[F(x)M(y) akkor ' V(Y\X=x)= G1 [Y(x)\ vagyis ez esetben a regressziós görbe a kvantilis — görbével egyezik meg. Ha A = 0, akkor E (Y\X = x)= E(Y), mivel ekkor Y független az X változótól. Mutatunk egy példát a mondottak alkalmazására.
