Hidrológiai Közlöny 1985 (65. évfolyam)

1. szám - Dr. Reimann József: Megjegyzések a korreláció- és regresszióelmélethez

D» Reimann ./.: A korreláció- és regresszióelmélet Hidrológiai Közlöny 1985. 1. sz. 61 Legyenek X ÓH Y exponenciális eloszlású valószínűségi változók ¥(x) = 1 e~*i

x ill. (A(y)= 1 - e-«»" eloszlásfüggvényekkel. A H(x, y) együttes eloszlás függvényről feltesszük, hegy W(x, y)>~¥(x) G(y), azaz X és Y között monoton növekvő tendencia, pozitív kvadránsfiigglség áll fenn. Ismeretes, hogy 0(X)=—, D(X)=t7, = —, E(Y)=—, a i D(Y)=O

2= a., A kvartilis görbe egyenlete az OCi a., üiyeues, amiből o

+ = l következik ezért: [.FI(x, //) - 7'

7(a-)«(.y)l dr d

?y CO oo // oo oo I" J {mm[F(x),G(y)]^F(x)G{y)}dxdy 1 1 ~ «1 a» 1 r (18) oo oo J j {min [F(x), G(y)] - F(x) G(y)} dx dy= II o = f J F(x)[l-Q(y)]dxdy + F(x)=s C(y) + f f G(y)[l-F(x)-\dxdy= a t -—J «I /•• i / e a''') d:r y = o x = 0 Ol a

2 d.y-f + /*[/" (l-ea-")d

?

/]d.T X « 0 y = o 11 11 ai a

2 ®

+ ai a

2 (19) amiből p

+ = l adódik. Az 7 valószínűségi változó X-re vonatkozó regressziós görbéje a (17) összefüggés alapján, figyelembe véve, hogy esetünkben y=G~

1[F(x)]=— x a, a következő: y{x)=X — x+( 1-;.) — a, a, (20) Ismeretes, hogy a legkisebb négyzetek módszerével nyerhető regressziós egyenes: a, a.j y=q — x + m,

2-o — /«,= (7i Gi a, , 1 :p X H a

2 a 2 = (?-*+( 1 0Ct> ou 1_ a, ai ; 1 (21) Azt a tényt, hogy p

+r=l, exponenciális vetületek esetében közvetlen számolással is beláthatjuk, ugyanis esetünkben: Látható, hogy a (18) összefüggés alapján a két egyenes inegegyezik egymással. Lineáris regresszió esetén tehát a (17) összefüggés ugyanarra az eredményre vezet mint a szokásos eljárás. Olyan eloszlásoknál azonban, amelyekre az y = G~

1 {¥(x) \ kvantilis görbe közelítőleg sem egyenes, a (17) formula alapján becsülhetjük a regressziós görbét. Ez úgy történhet, hogy megszerkesztjük az empirikus kvantilisgörbét, ennek ^-szorosához hozzáadjuk az y valószínűségi változó várható értékének (1-A)-szorosát. A X értékének kiszámítása a (9) összefüggés alapján nem mindig hajtható végre, mert a nevezőben lévő integrált csak akkor tudjuk kiszámítani 1— és így o

+ értékét meghatározni — ha az ?/ = G-1 [Ff%)] kvantilis görbe egyenletét explicit alakban a vetület eloszlásokból elő tudjuk állítani. A menynyiben ez nem sikerült, akkor az (X, Y) valószínűségi változó párra vonatkozó statisztikai mintából meghatározhatjuk tál4. £14)• 2. £14)- 4.^/4)' Hxii

2,yii

2), A(x

1/

2, .í/3/4). *(«»/« y»/2) > yíi 4) értékét a (8) formula alapján. Ehhez csak H(x, y) értékét kell becsülni a relatív gyakoriságok segítségével a felsorolt 9 kvartilis pontban. Ezután képezzük a fenti 9 érték számtani közepét. (Nagy minta esetén X(x, y) átlagát sűrűbb kvantilis — rácspontok segítségével is végezhetjük. Az így kapott ). mérőszámot a (17) formulába helyettesítve a regressziós-görbe közelítését kapjuk. IRODALOM fl] A

y. Blomqvist: On a measure of dependence between two random variables. Ann. Math. Statist. Vol. 21. 1950 I 2] K. L. Lehmann

: Some concept of dependence Ann. Math. Statist. Vol.37. 19(10 [3] J'eimann, ./. : Hidrológiai változók közötti kapcsolatok vizsgálatáról. Hidrológiai Közlöny. 1981. 7. Bemerkungen zur Korrelations- 11111I Regressios-Theorie II. Unterstellung der positiven Quadranten-Abhttn- ' gigkeil der Walirsclieinliclikeitsänderiing über purameterlose Methoden Dr. Beimann

, ./., Universitätsprofessor Untersucht wird die stochastisehe Beziehung zwischen hydrologischen Veränderlichen für den Fall, dass die gemeinsame Verteilungsfunktion Ufr, y) der Wahrscheinlich keits variablen X und Y grösser ist, als