Hidrológiai Közlöny 1985 (65. évfolyam)

1. szám - Dr. Reimann József: Megjegyzések a korreláció- és regresszióelmélethez

Dr. Reimann J.: A korreláció- és regresszióelmélet Hidrológiai Közlöny 1.985. 1. sz. 59 azaz ekkor legszorosabb a pozitív kvadráns-függőség, mivel X értékének ismeretében Y összetartozó értéke k iszámitható: Ha X=x, akki>r Y= y= <p(x) = G~ J[Fí x)]. A', y (I l[F(ar)] kvantilis göube alatti tetszőleges (.r, //) pontban F(x)=- G(y) Legyen jr --.'-fi,, y <ja . ahol |San azaz F(.r,i)Si G(y

a)~ <*• Ekkor ll{x(i, y

n) = G(y

a) — /'V«) minden ßsz a-ra, azaz H{xp, y

a) -//(•<•«, y

u) ha x^ x

u. Ez azt jelenti, hogy az y

a =c egyenes mentén esak az (x

a, y

a) pontban van valószínűségtömeg, minden at'|0, l]-re. Hasonlóan látható be, bogv ha ß a, akkor II{x

a, y

tj) = F(x

u) —G(y

u) azaz H(x

u, y

ti) -H(x

u, y

u) =0, tehát az x

u =c egyenes mentén esak az (x

u, y

u) pontban van pozitív valószínűség tömeg. A H

+(x,y) = min | l'\x), G(y)] eloszlás mellett tehát az y —-/''(•'')] kvantilis görbe mentén szlik el az egységnyi valószínűségtömeg, vagyis ekkor Y=<p(X) monoton függvénykapcsolat áll fenn. Megfordítva, ha A' és Y között monoton növekvő függvénykapcsolat van: Y =y( + ) azaz csak az y — <p(x) görbe mentén van valószínűség-tömeg, akkor G(y

a) = a =F( Y ^y

a) =P[<p(X) = = P(X ~=<pl(y

a)] - P(X = F(x

u) azaz <P~'(/Icl) Hu f(.''u) minden a£J0, ÍJ értékre. Másrészt a G(y

a) —F(x

a), azaz IJu =G~

1[F(x

a)] minden a£[0, 1] értékre, azaz y=tr<\F(x)], («) ami a kvantilis görbe egyeidete. Az (5) összefüggés azt jelenti, hogy ha H(x, y) Ffx) G(y), akkor ü(x, y) a H+fa:, y) = min \¥(x), G(y)\ maximális leliilet és a H/AR, y)-Y(x) G(y) felület között helyezkedik el. Az (5) összefüggés átrendezhető a kövotkező alakra: B.(x, y)—Y(x) G(y) = X(x, y) [min (Y(x) (Xy))—*(*) gi(&)] (7) U(x, y) F(x) G(y) i H(x,y)*min[F(x),G(y)] 1nnen: y- G''[F(x)] 2. <íbr<i A II + (x, y) -- min\ F(x), G(y)] eloszlás függvény mint felület Abb. 2. Die Verteilungsfunktion II +(x, y) — — min \F(x), G(yJ] als Fläche van közelebb, Ä(x,y)értékeazl-hezvagy

0-hozvan közelebb. A Ä(x, y) függvényt a pozitív kvadránsfüggőség szorosságának mérésére használhatjuk. Az (X. Y) valószínűségi változópár értelmezési tartományának tetszőleges (x,y) pontjában /.(x, y) jól mutatja, hogy Hfx, y) hol helyezkedik el a szigorú függvénykapcsolatot és a függetlenséget jelentő felületek között. Mivel min [/''(.T), G(y)\ — F(x) G(y) = lF(x)[l-G(y)], ha F(x)^G(y) \G(y)[l-F(x)], ha F(x)>G(y) továbbá F(x)<G(y) esetén F(x)[l-G(y)\ s G(y)[ 1 - G(y)] ^ F(x) - G(y) esetén ezért -sup G{y)[\-G{y)}=~ min [F(x), G(y)\ F{x)G(y)\^^ ennek alapján ä(X, y)s H(x,y)- F(x)G(y) _ ?'

{

X' >j

) min [ F(x), G(y)j F{x) G(y) A y) függvény azt- fejezi ki, hogy a H(x, y) felületnek a H

0 = F(x) G(y) felülettől való távolsága hány százaléka a két határfelület távolságának a y) = min \¥(x), G(y)] és a H

0(x, y)—Y(x) G(y) eloszlásfüggvényének különbségének. A (8) összefüggés is mutat ja, Iw gy n

r / (x, y)- 1 haH (x,y)>Y(x)G(y). A zeiint, hi gy H(x, y) a 1! . vrgy a H„ f- lületlu z 1/4 =4[//(*, y)- F{x) G(y)j Megjegyezzük, hogy Áfa 12' yim)='

ití(

xii2> yii'i)- 1 ami megegyezik a [3] dolgozatban vizsgált mérőszámmal, amelynek statisztikai tulajdonságait Blomqvist [1J vizsgálta; A műszaki gyakorlatban az X és Y valószínűségi változók Y(x). G(y) egyváltozós eloszlásfüggvényeit sok esetben általában vuurjük. de legalábbis egyszerűbb meghatározni (közelíteni) Yl(x, y)-\ általában nem ismerjük. Ilyen! < í H(x. y) a statisztikai mintából síkbeli pontfelhő tetszőleges (x, y)