Hidrológiai Közlöny 1985 (65. évfolyam)
1. szám - Dr. Reimann József: Megjegyzések a korreláció- és regresszióelmélethez
58 Hidrológiai Közlöny 1985. 1. sz. Dr. Reimann J.: A korreláció- és regresszióelmélet H+fz, oo) = F(x) mivel ¥(x)nsG( V) — I minden x-ie H+f oo, y) = G(y) mivel F( °°) = l>G(y) minden y-ra A H + (x,y) eloszlásfüggvényt, mint felületet ugyancsak könnyen ábrázolhatjuk, ha megrajzoljuk a G(y) = Y(x), azaz y = G~ 1[F(x)] görbét, (lásd: [3]) az ún. kvart ilisgörbét. Ekkor ugyanis az y = G1[lY:r^] görbe feletti pontokban Il+(x, i/) = ¥(x), a görbe alatti pontokban H +(x, y) = (A dolgozatban megmutattuk, liogy a kvantilis görbére teljesül az y a =G _ ,[ F(x„)] = <f(x a) összefüggés, ahol x a, ;//„ azonos a ~ kvantiliseket jelöl mindkét eloszlásra vonatkozólag) c) Legyen K_(x, y) = max[0, F(x) + G(y)-1] He lehet látni, hogy H (x, y) is olyan eloszlás, amelynek vetületei Ffx) ill. G(y) d) Legyen H,/x, y) = hnm [¥(x),G(y)] + + (l-k)Y(z)G(y) (0<kl) H;/.r, = A Y(x) + {\-X) Y(x)=¥(x) H;/ oo, y) = X G(y) + (1-A) G(y) = G(y) teliát H;/íc, y) minden A<[0, 1] esetén olyan eloszlás, amelynek vetületei az adott ¥(x) ill. G(y) eloszlások. Ez a típus önmagában végtelen sok olyan eloszlást foglal magában, amelyekre ugyanazok a vetület — eloszlások. Meg lehet mutatni, hogy valamely H(x, y) kétdimenziós eloszlásra, amelynek vetületei adott Ffx) ill. G(y) eloszlásfüggvények, mindig teljesül az max [0, Ffx) + G(yHfx, y)^ <min[F (x),G(y)\ (1^ egyenlőtlenség. Azt, hogy az (1) egyenlőtlenség jobb oldala teljesíti, rögtön láthatjuk, mivel tetszőleges A és B eseményekre i'(AB)=sp(A), P(AB)s;P(B), tehát: l'(A, B)=s min | P(A), P(B)] Ha most A = {A -<a-}, 13 = {Y «=y} P(AB) — l'(A' <x,y <j/) =H(a:,2/ <min[P(X <x), P(/ -=?/)] ='"in íe(x), G(y)] Az (1) egyenlőtlenség baloldala ugyancsak elemi egyenlőtlenségből következik: l'(A -rB) P(A) + P(B)—P(AB)S ], ezért P(AB)sr |'(A) + P(B)—1, továbbá P(AB)a=o tehát P(AB)Sr max. [0, P(A)+P(B)—1] Kzek alapján H +(x, y) =min \V(x), G(y)] az egyenletesen legnagyobb felület, amelynek vetületei FfxJ ill. G(y). A Hi(x, y)= max. \0',V(x) +G(y)—1] pedig a legkisebb ilyen felület. Ugyanezen vetületekkel bíró minden más H(x, y) felület a H + (x, y) ill. H_(x, y) között helyezkedik el. A kvadránsíiiggőség fogalma Az X és Y valószínűségi változók függetlensége jól definiált fogalom: X és Y akkor függetlenek, ha együttes eloszlásfüggvényük a H 0(x, y) — = V\x).G(y). HaJÍ és Y együttes eloszlásfüggvénye valamely más H(x, y) kétdimenziós eloszlásfüggvény, akkor a két változó között függés, sztochasztikus kapcsolat van. A valószínűségi váltók függősége igen különböző lehet. A függőség ezért túlságosan tág fogalom. A gyakorlatban előforduló változópárok között nagyon sokszor monoton tendenciát tapasztalunk. E. L. Lehmann [2] dolgozatában bevezette' a kvadránsfüggőség fogalmát a következő módon: az X ós Y valószínűségi változók között pozitív kvadránsfüggőség van, ha értelmezési tartományok tetszőleges (x,y) pontjában : V(Y^y\X^x)^V(Y^y) (2) Más alakban írva: P(X<x, K<j/) l\X x) azaz H(x, y) = F(X^x, Y<y)>P(X^x) P(Y<y) = = F (x)G(y) (3) Ha a fordított irányú egyenlőtlenség áll fenn, akkor X és Y között negatív kvadránsfüggőség van A (2) összefüggés tartalma a következő: Hax ésy adott értékek, akkor az {Xcr} feltétel mellett az { Y < yj esemény nagyobb valószínűséggel következik be. mint a feltétel nélkül. Ezt úgy is fogalmazhatjuk, hogy X kicsi értékéhez Y kicsi értéke nagyobb valószínűséggel társul, mint X nagyobb értékeihez, vagyis X és Y között valószínűségben) növekvő tendencia van. ( A pozitív kvadi'ánsíüggőscg vizsgálata. Yí(x, y.)>Y(x) G(y) azaz v H(x, y)—Y(x) G(y)>0 (4) Ez esetben a (2) és (4) összefüggéseket figyelembe véve: Y(x)G(y)^YL(x, min [F(x), G(y)\ Feltesszük, hogy a H, F, G eloszlásfüggvények folytonosak. Ekkor tetszőleges olyan (x, y) pontban, amely a kétdimenziós eloszlás értelmezési tartományához tartozik: H (x,y) = \(x, y) min [Y(x),G(y)} + (\-X)(x,y) F(x) G(y)], ahol <)== l(x, yj^l (5) Ha X(x, y)-- \. akkor Hfz, y) = min [FfxJ, G(y)], míg ha A (x, y) = ü, akkor Yi(x, y) = Y(x) G(y) Tehát A (x, y) = ü esetén X és Y függetlenek. Megmutatjuk, hogy ha az (5) összefüggés teljesül és Á(x, y=\ akkor az X és Y változók között Y=(p(x) monoton növekvő függvénykapcsolat van
