Hidrológiai Közlöny 1985 (65. évfolyam)

1. szám - Dr. Reimann József: Megjegyzések a korreláció- és regresszióelmélethez

Hidrológiai Közlöny 1985. 1. sz. 57 Megjegyzések a korreláció- és regresszióelmélethez II. Valószínűségi változók pozitív kvadránsíüggőségének vizsgálata mun paraméteres módszeriel ü il. H E I M A N N JÓZSEF», egyetemi tanár Bevezetés A Hidrológiai Közlöny 1983. II. számában a kqrre­lációelmélet klasszikus módszereivel foglalkoztunk. Ennek során rámutattunk, hogy a valószínűségi vál­tozók közötti kapcsolat mérésére többféle mérőszámot vezettek be, amelyek köziil általánosan ismert és elter­jedt mérőszám a K. Pearson által bevezetett korrelációs együttható. Ugyancsak rámutattunk arra, hogy a korre­lációs együttható lineáris kapcsolat esetén igen jó mérőszáma két valószínűségi változó kapcsolatának, sok esetben azonban nem méri a kapcsolat szorosságát. Az a gyakorlat, hogy statisztikai mintából kiszámítjuk az empirikus korrelációs együtthatót, s ha az közel van zérushoz, akkor két változó függetlenségére következ­tetünk, gyakran hibás döntés. Tekintettel arra, hogy a hidrológiában valószínűségi változók közötti kapcsola­tok vizsgálatára a műszaki előrelátás szempontjából igen gyakran szükség van, cikkünkben a kérdéskör elemzésével foglalkozunk. A valószínűségi változók közötti kapcsolatok vizsgálata az utóbbi évtizedekben a matematikai statisztikai irodalomban igen nagy teret kapott. A korlátozott terjedelem miatt nem törekedhe­tünk még a főbb kutatási irányok felvázolására sem, az irodalomjegyzékben megjelölt dolgozatok elolvasásával azonban az érdeklődő olvasó bizonyos áttekintést kaphat a fejlődés irányairól és főbb eredményekről. Az általunk javasolt módszer leírása során számos fon­tos eredmény bemutatásra kerül. 1. Kétdimenziós eloszlásfüggvény mini felület Ismeretes az az alapvető tény, hogy ha két valószínűségi változó X és Y együttes eloszlás­függvényét, a H(x, y) kétváltozós eloszlásfüggvény ismerjük, akkor X és Y kapcsolatát illetőleg minden információval rendelkezünk, csak ki kell tudni olvasni az együttes eloszlásfüggvényből. A lí(x, y) eloszlásfüggvény a F(X^x, Y^y) valószínűséget szolgáltatja. A 11/x, y) kétváltozós eloszlásfüggvényből egy szerűen meg kaphatjuk az X ill. Y változók egyváltozós eloszlásfüggvényét a V(X<x)=V(X<x, Y-< oa)=-R(x, oc) = Y(x) V(Y~zy) = V(X~: co, Y*y) = Hf y) = G(y) vetület eloszlásokat. A továbbiakban feltesszük, hogy Yi(x, y), F(x) ill. G(y) folytonos az x ill.y változókban szigorúan monoton növekvő függvé­nyek. A H(x, y) kétváltozós eloszlásfüggvény tehát egyértelműen meghatározza az X valószínűségi változó Y(x) ill. az Y változó G(y) egydimenziós eloszlásfüggvényeit. Fordítva már egészen más a helyzet. Ha csak azt tudjuk, hogy az X valószínű­ségi változó eloszlásfüggvénye Y(x), az Y változóé G(y), akkor végtelen sok olyan J\(x, y) kétválto­* -Budapesti Műszaki Egyetem, Budapest. zós eloszlásfüggvény van, amelynek ugyanezek a vetület eloszlásai, a) Legyen pl. K 0(x,y)=F(x) G(y) Ekkor azt mondjuk, hogy az X és Y valószínűségi változók függetlenek. Könnyen látható, hogy ­H (/z, °°) = Y(x) G(°°) = Y(x) mivel G( °°) = 1 H/ y) = F( G(y)= G(y) mivel F( <~) = l A H 0f x, y) kétdimenziós eloszlás tehát egyik olyan eloszlás, amelynek vetületei ~F(x) ill. G(y). Ezt az eloszlást mint felületet egyszerűen szem­léltethetjük (1. ábra) (egyszerűbb ábrázolás ked­véért nem negatív értékű valószínűségi változókra korlátozódva). Az 1. ábrán feltüntettük cl Z 0C\ I «, Xij 2, x 3j v az x eloszlásának quartiliseit, azaz olyan számokat amelyekre ^(£ í 4) = -l-, F(X 1: í)=j; F(X 3I i) = ^. Hasonlóan legyenek y l u, y ll 2, y. i U az Y változó el­oszlásának ((uartilisei, azaz ezekre ~ 1 ~ 1 ~ 3 0(yi,4)=— , G(y i l. i)=—, G(y 3] i)=—. b) Legyen H i (%• y) = min \Y(x), G(y) \, azaz H+ vagy F vagy G értékével egyenlő, aszerint, hogy az (x, y) pontban Y(x)^G(y) vagy Y(x)> >G(y) Könnyű belátni, hogy ini-iit felület Abb. 1. Die Verteilungsfunktion H u(x, y) ~ F(x) 0(y) als Fläche

Next

/
Thumbnails
Contents