Hidrológiai Közlöny 1985 (65. évfolyam)
1. szám - Dr. Reimann József: Megjegyzések a korreláció- és regresszióelmélethez
Hidrológiai Közlöny 1985. 1. sz. 57 Megjegyzések a korreláció- és regresszióelmélethez II. Valószínűségi változók pozitív kvadránsíüggőségének vizsgálata mun paraméteres módszeriel ü il. H E I M A N N JÓZSEF», egyetemi tanár Bevezetés A Hidrológiai Közlöny 1983. II. számában a kqrrelációelmélet klasszikus módszereivel foglalkoztunk. Ennek során rámutattunk, hogy a valószínűségi változók közötti kapcsolat mérésére többféle mérőszámot vezettek be, amelyek köziil általánosan ismert és elterjedt mérőszám a K. Pearson által bevezetett korrelációs együttható. Ugyancsak rámutattunk arra, hogy a korrelációs együttható lineáris kapcsolat esetén igen jó mérőszáma két valószínűségi változó kapcsolatának, sok esetben azonban nem méri a kapcsolat szorosságát. Az a gyakorlat, hogy statisztikai mintából kiszámítjuk az empirikus korrelációs együtthatót, s ha az közel van zérushoz, akkor két változó függetlenségére következtetünk, gyakran hibás döntés. Tekintettel arra, hogy a hidrológiában valószínűségi változók közötti kapcsolatok vizsgálatára a műszaki előrelátás szempontjából igen gyakran szükség van, cikkünkben a kérdéskör elemzésével foglalkozunk. A valószínűségi változók közötti kapcsolatok vizsgálata az utóbbi évtizedekben a matematikai statisztikai irodalomban igen nagy teret kapott. A korlátozott terjedelem miatt nem törekedhetünk még a főbb kutatási irányok felvázolására sem, az irodalomjegyzékben megjelölt dolgozatok elolvasásával azonban az érdeklődő olvasó bizonyos áttekintést kaphat a fejlődés irányairól és főbb eredményekről. Az általunk javasolt módszer leírása során számos fontos eredmény bemutatásra kerül. 1. Kétdimenziós eloszlásfüggvény mini felület Ismeretes az az alapvető tény, hogy ha két valószínűségi változó X és Y együttes eloszlásfüggvényét, a H(x, y) kétváltozós eloszlásfüggvény ismerjük, akkor X és Y kapcsolatát illetőleg minden információval rendelkezünk, csak ki kell tudni olvasni az együttes eloszlásfüggvényből. A lí(x, y) eloszlásfüggvény a F(X^x, Y^y) valószínűséget szolgáltatja. A 11/x, y) kétváltozós eloszlásfüggvényből egy szerűen meg kaphatjuk az X ill. Y változók egyváltozós eloszlásfüggvényét a V(X<x)=V(X<x, Y-< oa)=-R(x, oc) = Y(x) V(Y~zy) = V(X~: co, Y*y) = Hf y) = G(y) vetület eloszlásokat. A továbbiakban feltesszük, hogy Yi(x, y), F(x) ill. G(y) folytonos az x ill.y változókban szigorúan monoton növekvő függvények. A H(x, y) kétváltozós eloszlásfüggvény tehát egyértelműen meghatározza az X valószínűségi változó Y(x) ill. az Y változó G(y) egydimenziós eloszlásfüggvényeit. Fordítva már egészen más a helyzet. Ha csak azt tudjuk, hogy az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye Y(x), az Y változóé G(y), akkor végtelen sok olyan J\(x, y) kétválto* -Budapesti Műszaki Egyetem, Budapest. zós eloszlásfüggvény van, amelynek ugyanezek a vetület eloszlásai, a) Legyen pl. K 0(x,y)=F(x) G(y) Ekkor azt mondjuk, hogy az X és Y valószínűségi változók függetlenek. Könnyen látható, hogy H (/z, °°) = Y(x) G(°°) = Y(x) mivel G( °°) = 1 H/ y) = F( G(y)= G(y) mivel F( <~) = l A H 0f x, y) kétdimenziós eloszlás tehát egyik olyan eloszlás, amelynek vetületei ~F(x) ill. G(y). Ezt az eloszlást mint felületet egyszerűen szemléltethetjük (1. ábra) (egyszerűbb ábrázolás kedvéért nem negatív értékű valószínűségi változókra korlátozódva). Az 1. ábrán feltüntettük cl Z 0C\ I «, Xij 2, x 3j v az x eloszlásának quartiliseit, azaz olyan számokat amelyekre ^(£ í 4) = -l-, F(X 1: í)=j; F(X 3I i) = ^. Hasonlóan legyenek y l u, y ll 2, y. i U az Y változó eloszlásának ((uartilisei, azaz ezekre ~ 1 ~ 1 ~ 3 0(yi,4)=— , G(y i l. i)=—, G(y 3] i)=—. b) Legyen H i (%• y) = min \Y(x), G(y) \, azaz H+ vagy F vagy G értékével egyenlő, aszerint, hogy az (x, y) pontban Y(x)^G(y) vagy Y(x)> >G(y) Könnyű belátni, hogy ini-iit felület Abb. 1. Die Verteilungsfunktion H u(x, y) ~ F(x) 0(y) als Fläche
