Hidrológiai Közlöny 1983 (63. évfolyam)
2. szám - Dr. Varga István–dr. Kozák Miklós–dr. Bakonyi Péter: A stabilitási probléma általánosítása vízszintszabályozási rendszerekben
Dr. Varga I. és szerzőtársai: A stabilitási probléma Hidrológiai Közlöny 1983. 2. sz. 53 teljesülnek, minden esetben közvetett rendszerű vízszintszabályozásról van szó. Az egyes Y n^x, (p) és Yn.,{x, p) átviteli függvények részletes kifejtését a tanulmányok [7, 8] tartalmazzák. A (4), valamint a (7) és (8) kifejezések egy vízszintszabályozási rendszer valamely szabályozó műtárgyának olyan általános matematikai modelljét adják, amely alkalmas explicit formában leírni a rendszer összes elemének — szabályozott csatornaszakaszoknak és szabályozó műtárgyaknak — a vizsgált vízszintszabályozó vízhozamváltozására gyakorolt hatását. 3. A vízszintszabályozás stabilitása cs az állandósult lengések A vízszintszabályozási rendszerek egyik alapvető problémája: a rendszert egy kezdeti, egyensúlyi állapotából kitérítve (a kezdeti q 0 vízhozamhoz tartozó permanens áramlási állapotot véges Aq(t) vízhozamváltozással megzavarva) képes-e a rendszer az eredeti vagy egy új, de véges értékekkel jellemezhető egyensúlyi állapotot felvenni? (A qz=zq 0-\-Aq\t?í vízhozamú permanens áramlási állapotra beállni?) Matematikai szempontból a probléma egyenértékű azzal, hogy a (4) összefüggésben szereplő Y en 7'(p) eredő rendszer átviteli sorvektornak nem lehetnek olyan pólusai, ahol a |>=.s-f-jicr helyettesítéssel s>0 [3]. Ennek eldöntéséhez pl. az általános Nyquist kritérium használható fel [3] tekintettel arra, hogy a (4), ill. (7) és (8) kifejezések ún. többhurkos szabályozási rendszert írnak le (lásd 2. ábra). Az ehhez szükséges eredő hurokátviteli függvény a (4) kifejezésből: y(p) = -Y£(p)-K(p)-Y B(p) (9) amely a p=jco helyettesítéssel az Y(jw) frekvenciajelleggörbe kifejezését adja. A stabilitás feltétele: [3] Z—P—R—Q (10) ahol P — az F(p) jobb oldali (pozitív valós részű) pólusainak a száma, R — az Y(jw) — °° <-(- 0° teljes frekvencia-jelleggörbe komplex számsík ( — 1,0) pontja körüli körülforgásainak száma; Z — az 1 + F(p) = 0 karakterisztikus egyenlet jobb oldali (pozitív valós részű) gyökeinek a száma. Ha az egyes bemenőjelek — vízszintváltozások — egymástól függetlennek tekinthetők, [5, 7] a (9) kifejezés lényegesen egyszerűsödik, mivel K(p) = I Y(p) = - Y£(P) • Y„(p) = - [ 7 s(p) + Y,(p) + r«(p) 1 Legegyszerűbb esetben, amikor csak a szabályozott vízszintre vonatkozó szabályozási kör vizsgálatára szorítkozunk: F(p)= - F R í(p) • F„(p)= - F,(p) Természetesen, a (4), ill. ennek részét képező (9) kifejezés csak akkor jellemzi megfelelően a szabályozási folyamatot, ha a szabályozó műtárgy működési mechanizmusa nem tartalmaz lényeges nemlinearitásokat. A gyakorlati esetek egy jelentős részénél ez a feltétel nem teljesül, llven nemlinearitások lehetnek például a vízszállítókapacitás korlátossága, a vízszintérzékelés érzéketlensége és korlátossága, súrlódásból származó hiszterézisjelleg stb. Ezeket a nemlinearitásokat azonban kizárólag a szabályozott vízszint szabályozási köre tartalmazza (2. ábra). Ezek a nemlinearitások adott esetekben az átviteli függvényeknek megfelelő leírófüggvényekkel helyettesíthetők [2]. A nemlinearitásokat is jellemző eredő frekvenciajelleggörbe a (3) összefüggés nevezőjének felhasználásával a következő: Y(B, j«) = = -B, jco)y 5(j«)[l+2(Yf(]a>) + Y a(jw))] + + Yf(]a>) + Y a(]w)-\-2Yf(ya) F„(ja>)} (11) ahol N S(B. jco)—a szabályozó műtárgy neinlinearitásait jellemző leíró függvény. Altalános esetben B amplitúdó — és <» frekvenciafüggő. A (11) összefüggést a szokásos alakra hozva kapjuk: _ T(jca) = = y s ( . r, 2[ Y,(ja>)+ Y a(jo>)]+l Y/(jo>) + Y„(jo>) + 2 V,(jo>) Ya(jw) - 1 1 N,(B, jco) (12) A (12) összefüggés az egymástól nem független (kapcsol!) bemenőjelű, nemlinearitásokat is tartalmazó vízszintszabályozási rendszer karakterisztikus egyenlete, egyben a stabilitás határfeltétele: —- ha az egyenlőség sehol sem jön létre a 0 B < < 00 és 0 <co < °° tartománybaji és az Y(jco) frekvencia-jelleggörbe nem fogja körbe a — 1 /A 7 S( B. ja>) görbét, a rendszer stabil; — ha az egyenlőség egy vagy több pontban teljesül és az F(jco) körbefogja a — \jN s(B,yo) komplex görbe B— °=-hez tartozó pontját bármely frekvencián, divergens határciklus jön létre, a rendszer instabil; — ha az egyenlőség egy vagy több pontban teljesül, de az Y(jw) nem fogja körbe a — 1 IN S(B, jco) görbe B— °°-hez tartozó pontját egyetlen frekvencián sem. konvergens határciklus jön létre, a rendszerben állandósuló lengések keletkeznek valamilyen Bt amplitúdóval és (Ok frekvenciával, a rendszer aszimptotikusan stabil. A (12) összefüggés függetlennek tekinthető bemenőjelek esetében egyszerűsödik: 7(ja,)=YAjco) y^+T^-l = NJBJo» (13) Legegyszerűbb esetben pedig, amikor elégséges csak a szabályozott vízszint szabályozási körét vizsgálni: (14 )
