Hidrológiai Közlöny 1983 (63. évfolyam)

11. szám - Dr. Reimann József: Megjegyzések a korreláció- és regresszióelmélethez. I. Korreláció-elmélet

Dr. R

eimann J.: Korreláció-elmélet Hidrológiai Közlöny 1983. 11. sz. 481 Ha kiszámítjuk S-nek r;-ra vonatkozó korrelációhányadosát is: D[M(l b)] •=1 " D(^) (9) és tekintjük a 0(1, r?) = max [0

;(»?), 0„(í)] (10) mérőszámot, még mindig nem teljesülnek az A), D) és F) posztulátumok, a többi posztuláturn viszont teljesül. (Ennek bizonyítását' lásd [4].) Az Aj-tői G)ig felsorolt posztulátumok mindegyikét teljesíti a Gebelein-féle maximálkorreláció. I7) = BU]»

G[/( !),(/(v)] (11) f,g ahol f(x) és g(x) befutja az összes Borel — mérhető függvények halmazát. (Bővebben lásd [1].) Ennek a mérőszámnak viszont az a nagy hátránya, hogy csak igen ritkán lehet kiszámítani. Ezek után úgy tűnhet az olvasónak, hogy elég vigasztalan a helyzet a sztochasztikus kapcsolat mérése szempontjából, meft ami jó mérőszám, azt nem tudjuk kiszámítani, amit ki tudunk számítani, az nem jól méri a kapcsolatot. Talán mégis a korrelációs együtthatót használjuk? Erre legalább azt tudjuk ellenőrizni, hogy van-e lineáris kapcsolat £ és rj között. 3. Két valószínűségi változó monoton kapcsolatának vizsgálata Mutatunk most egy mérőszámot, amelynek segítségével azt tudjuk ellenőrizni, hogy van-e monoton kapcsolat £ és rj között, ami lényegesen több, mint a lineáris kapcsolat, amely a monoton kapcsolat speciális esete. Tételezzük fel, hogy ázt akarjuk ellenőrizni, hogy van-e | és i] között monoton növekvő közös tendencia. Feltesszük, hogy £ és r] együttes eloszlásfüggvénye H(x, y), £ eloszlásfüggvénye F(x), ^eloszlásfüggvénye G(y), amelyekről feltesszük, hogy szigorúan növekvő, folytonos függvények. Legyen továbbá x

1 a | eloszlásának mediánja, 2 ~ 1 ~ azaz F(x\) = —-,y

1 az tj eloszlásának mediánja, azaz G(y

1)=ir továbbá legyen 2 1 ha 0 ha 1 ha i] < y

1 0 ha 2 ekkor ö($i> Vi) = 2 2 2 2 2 2 \f F(X, )\\-F(x,y\fí(,

h)\\-fí(yJ\ 2 2 2 2 2 2 vn ' 4 4 -= Vv Képezzük a rr^j y

L=41J(x

L, y

L)-l 2 2 2 (12) mérőszámot. Könnyű belátni, hogy az A) és B) posztulátumoknak y, eleget tesz. Megmutatjuk, 2 hogy | y

11 eleget tesz a G) posztulátumnak. vagyis y

1 a és }r]<;/,} eKemények indikátor 2 2 2 változóinak korrelációs együtthatója, azaz - 1 — y

L=s 1, vagyis | y

L\ == 1 2 2 Könnyen látható, hogy ha | és rj függetlenek, akkor yi — 0- Ugyanis ha £ és rj függetlenek, akkor 2 2 2 2 2 (Azt nem állíthatjuk, hogy y

1 csak akkor 0, ha 2 ! és ÍJ függetlenek) de csak akkor 0, ha a JlcrJ 2 és független események). * Továbbá | | = 1 ha az E) posztulátumban sze¥ replő f(x), ill. g(x) függvények monoton növekvő függvények. Legyen r]=<p(£) monoton növekvő függvény. Ekkor ~=P{ r)<!h)=P[<P( ÉH £]=•?[ I < V1^)] = 2 2 2 =P(I<£)> Legyen £, a {£-=ax} esemény indikátor — vál2 2 tozója, azaz legyen = vagyis y

1=cp(x

1). (13) 2 2 2 2