Hidrológiai Közlöny 1983 (63. évfolyam)

11. szám - Dr. Reimann József: Megjegyzések a korreláció- és regresszióelmélethez. I. Korreláció-elmélet

482 Hidrológiai Közlöny 1983. 11. sz. Dr. Reimann ./.: Korreláció-elmélet Ez azt jelenti, hogy az r] = <p(£) monoton növekvő függvény átmegy az (x

v ponton, vagyis 2 2 H{Xv fi)=P(r]<fi) = » 2 2 2 2 = P[£<x

u <p(£) < ?(£)] = P( £<£) = 2 2 2 ~ ekkor 2 Z A (13) összefüggés alapján megmutatható, hogy eleget tesz az F) posztulátumnak, hogy az ott 2 U(u

X

2 %)=P( fi, o>-< t§ =P[/( £) 2 2 2 2 szereplő /(a;) és gr(a:) függvények monoton növekvő függvények. Legyen ugyanis £ = /(£), w = g{

ri)> z

1 a £ elosz2 lásának mediánja,^ az w eloszlásának mediánja, ~2 ekkor (13) alapján 2 2 2 2 azaz x

L=f~i(Ui), fi_= g^ifi) ~~ 2 2 2 2 továbbá •n^y[)=n(x[

1 fi) • 2 2 2 2 2 2 2 2 vagyis yj invariáns a valószínűségi változók mono2" ton növekvő transzformációjával szemben. Kimutatható, hogy y

1 eleget tesz a G) posztu2 látumnak is, nevezetesen ha | és ÍJ együttes eloszlása kétdimenziós normális eloszlás, akkor 2 YiJ 2 Jl arc sin g. (14) ahol q a £ és r] közötti korrelációs együttható. Megjegyezzük, hogy y

1 statisztikai becslése a (£, 17) változópárra vonatkozó kétdimenziós mintából minimális számolással igen egyszerűen kapható. (Lásd [6].) Megemlítjük, hogy y

1 helyett használhatjuk a vele 2 azonos tulajdonságokkal bíró, de általánosabb H{x

a, y^-á

1 yoL = a— a* (15) 16 1 1 4 Í6~ 16 ~ ~ 1 ^-H(x

l,y

1)Y (16) 4 4 11 y-i) 4 4 16 16 Ytr=4 3 T 9 T(T -H(x

vy 3)-3 (17) (az indikátor korreláció értékét az alsó, ill. felső kvartilis pontokban), akkor lényegesen több információt kapunk a két változó sztochasztikus kapcsolatáról . Az • y\); (*i> y&> («3.2/3) 44 22 44 empirikus kvartilispontokat a statisztikai mintából kijelölve igen gyors áttekintést nyerhetünk a £ és r] változók kapcsolatáról a következő módon. Ha I és ri függetlenek akkor a 3. ábrán látható kvadránsokba eső pontok száma nagyjából az 1 : 4 : 9 : 16 négyzetszámok arányával egyezik meg: Abban az esetben, ha £ és rj között monoton növekvő függvénykapcsolat van, akkor ugyanezen mérőszámot is, ahol x

a, ill. y

u a £, ill. rj változók eloszlásának a-kvantilisét jelölik. (Lásd bővebben [6].) Megjegyezzük, hogy ha a (12) formulában szereplő y

1 mellett kiszámítjuk még a y

1, ill. y

3 mérő2 r i számokat is: ~ ~ i H(xv Vi) 4 4 3ifi % . 1 • ...' • •• . .' 16'. - 16• • ;; 16 " • • - . ' •16 ' 5 3. ábra. A quartilis pontok által határolt kvadránsok kétdimenziós valószínűségi mértéke a f és y valószínűségi változók f üggetlensége esetén Puc. 3. BeponmnocmHoe mmenue Keadpanmoe, oepanuleuHbix KeapmuAUÜHbiMU nywcmaMU, e deyx pa3Mepax, e CAynae ue3aeuMucocm eepoamnocmHux nepeMenmix £' uy Abb. 3. Zweidimensionelles Wahrscheinlichkeitsmaß der durch quartile Punkte begrenzte Quadranten bei unabhängigen Zufallsgrössen £ und rj