Hidrológiai Közlöny 1983 (63. évfolyam)
6. szám - Dr. Kontur István: Előrejelzési időelőny és pontosság közötti összefüggés ARMA modellek esetén
258 Hidrológiai Közlöny 1983. 6. sz. Dr. Kontur I.: Előrejelzési időelőny <d = (l+ 2 f}^yt= f(B)a t. (6) i= i Ugyanígy felírható Zt a megelőző z t értékek végtelen összegeként is: Zt = JTiZí_i+ TT.jZt. 2+ . . . + a t = = 2 npt-j+at, 3=1 amiből azt kapjuk, hogy: ( 0 0 [l- 2 «J B^z t=n{B)z t = a. t. (7) (8) 3=1 A i/)(.B) és JT(-B) végtelen polinomok között az alábbi azonosságot kapjuk (6) és (8) egybevetéséből: n(B).xp(B) = l, (9) amiből w(B)=y-*(B) (9a) vagyis JZ(B) és xp(B) egymás inverzei, az egyik a másikból kifejezhető. Az eredeti idősor szórásnégyzete és a véletlen komponens szórásnégyzete között (6) alapján egyszerűen felírhatjuk az összefüggést: 2 2 V 2 Gz = Ca 2_I Vij = u (10) ( V0=l). Stacionárius sorozatról lévén szó (ii) í=i Az ARMA (p, q) (5(B) és 0(B) polinomjai, valamint a i/)(B) polinom — és így (9) értelmében ?r(B) polinom — között a kapcsolat (5 a) és (6) alapján: 0(B)- Y(B) = 0(B). Tlletve (5 a) és (8) alapján: 0(B) = 0(B). JR(B), (12) (13) ami JR(B) polinom elemeinek meghatározására szolgál. (0 O — 1) Felhívjuk a figyelmet arra, mint az a (12) és (13)-as összefüggésből is látható, hogy AR (p) esetén JR(B) = 0(B), vagyis a n( B) polinom véges (p), MA (q) esetén 0(B) = 0(B), vagyis a 0(B) polinom véges (q). Végül megemlítjük, hogy a 0(B) és n(B) polinomok invertálhatósága (9a) akkor áll fenn, ha 71(B) konvergens és a folyamat stacionárius, ha 0(B) konvergens az egységkörön, illetve azon belül, így tehát az AR modellek mindig invertálhatók, és az MA modellek mindig stacionáriusak, ha az előző mondatban említett feltételek teljesülnek. 2. Az előrejelzési hiba szórásnégyzete különböző időelőny esetén Ebben a tanulmányban a figyelmünket az előrejelzési időelőny pontosságára gyakorolt hatására összpotosítjuk. Ezért nem foglalkozunk az ARMA modellek paraméterbecslésével, a megfelelő modell kiválasztásával. Mint ismeretes az ÁR modellek esetén a legkisebb négyzetek elvét alkalmazva az autokorrelációkból alkotott normálegyenlet szolgál a paraméterek meghatározására [í, 3]. Vizsgálatunkban a pontosság az előrejelzési hiba szórásnégyzetével függ össze. Legyen a feladatunk a t időpontban az l időA előnyű előrejelzés: z t(l) megadása. A (t + l). érték z t +i. (2. ábra). A két érték közötti különbség tulajdonképpen az előrejelzési hiba: e,(l)=z t +i-zt(l). (14) Speciálisan, ha 1=1, akkor e t (1) = a t n-vel, és ebben az esetben az előrejelzési hibák egymással - korrelálatlanok. Ezzel szemben, ha az időelőny hosszabb, akkor az előrejelzési hibák már korreláltak, akár az előrejelzési idők kezdőpontját nézzük (e t(l), e t +j(l)), akár azonos kezdőpont esetén nézzük a különböző időelőnyű előrejelzési hibák korrelációját (e t(l), e t(l+j)) [1]. (Lásd 5. pont.) A zt +i felírható a véletlen tagok végtelen összegeként (6): zt+i= (a t +i+ yiat... + yi-ia l + ,) + + (W 1' + VÍ+i«Í-I+ • • •) — = e t(l) + z t(l), (15) ahol az első l tagú összeg éppen a t, időpontú, l időelőnyű előrejelzés előrejelzési hibája. Ennek várható értéke és szórásnégyzete: E{e t(l)}=0 (l) = (1 + y>%+ - . . + VÍ 2_i) -al (16) így tehát rendelkezésünkre áll az előrejelzési hiba szórásnégyzete o ef(l) és az időelőny l közötti explicit összefüggés. Ezek után csupán rp v xp, 2,. .., értékeket kell meghatároznunk. Nem foglalkozunk azzal, hogy a különböző időelőnyű előrejelzések hogyan valósíthatók meg, erre vonatkozóan az [1] könyvben 2. ábra. Az előrejelzési időelőny és előrejelzési hiba értelmezése Abb. 2. Deutung des Vorhersagen-Zeitvorteils und des Vorhersagefehlers Fig. 2. Interpretation of the length (time span) and error of the forecast
