Hidrológiai Közlöny 1983 (63. évfolyam)
6. szám - Dr. Kontur István: Előrejelzési időelőny és pontosság közötti összefüggés ARMA modellek esetén
Dr. Kontúr I.: Előrejelzési időelőny Hidrológiai Közlöny 1983. 6. sz. 259 megfelelő útmutatásokat találunk, hanem csak a címben megjelölt feladatot vizsgáljuk, vagyis azt, hogy az előrejelzési időelőny és apontosság között mi az összefüggés. Ennek az elemzésnek ott van különös jelentősége, ahol különböző előrejelzési modelleket kívánunk összehasonlítani az előrejelzési időelőny szempontjából. I)e ugyanígy érdekes lehet az a kérdés is, hogy az előrejelzési modell milyen sebességgel — milyen rohamosan — romlik az előrejelzési időelőny növelésével párhuzamosan. Ez alapján dönthetünk például arról, hogy egy adott ARMA modell milyen előrejelzési időelőny növeléséig szolgálat még gyakorlatilag hasznos eredményt. Mint ismeretes az előrejelzési hiba szórásával arányos az a konfidencia sáv, amit a számított A előrejelzési érték z t(l) köré kell rajzolnunk: ahol a$=á(J)±«./ a-[ 1+ 2 V'f] 1/ 2-*«. (18) í- i j ahol Mg / 2 — a standard normál eloszlás függvény értéke az e/2 helyen, és s u a o u becslése. A fenti képlet tehát azokat a korlátokat adja meg, melyek közé l-e valószínűséggel esik a tényleges zt +i érték. így tehát az előrejelzés konfidencia sávjai számíthatók az előrejelzési időelőny függvényében. A konfidencia sáv szélessége éppen az £ Ii/* i+ 2 v/J j=i mennyiséggel arányos. A (16) és (19) összefüggésből is nyilvánvalóan látszik, hogy az előrejelzési hiba az időelőny növekedésével monoton növekszik. (y>j értéke akár pozitív, akár negatív, négyzetének összege monoton nő, az abból vont négyzetgyök hasonlóképpen.) Sőt az is teljesen világos és elméletileg is belátható, hogy az előrejelzési időelőny növekedésével az előrejelzési hiba szórása o e(l) a folyamat szórásához a z-hez tart. (V. ö. (10) és (lö) képleteket.) Vagyis gyakorlati elvárásunkat az elmélet különösebb fejtörés nélkül igazolja. 3. Az előrejelzési liiha szórásnégyzetének számítása Láttuk az előző pontban, hogy a kitűzött feladat megoldásához a y>(B) polinom együtthatóit, vagy legalább az első l—1 számú együtthatóját kell meghatározni. Most lesz segítségünkre a 0(B), 0(B) és 0(B) polinomok közötti (12) összefüggés. Egy adott ARMA (p, q), modell esetén, tehát ha ismerjük 0j, 0 2,. . . ,0 P; öj, 0 2,. . ,O q értékét akkor it (12) összefüggés részletesen felírva (1 - 0,B - 0 2B 2 -:..- 0„B Í') = = (1 + y,B + V aB 2+ . ..) = = 1-0B-0 2B 2-...-0 qB\ (12a) A 0 együtthatók meghatározásának módja egyszerűen az, hogy az azonos kitevőjű oprerátorok együtthatóit egyenlővé tesszük a jobb és a bal oldalon: - 0, B + B = - 6>, B - y> í = - Ö,+ 0, - 0! y>! B 2 - 0 2B 2+ V> 2*B 2 = - © 2B 2 • - V )2=-Ö 2+0 2 + 0i(-0 1+0I) 8. i. t. Látható, hogy a számítás nem különösebben nehéz. Megjegyezzük, hogy a tiszta mozgó átlag modell esetén, (MA(</)) a >/> = 0 és így a szükséges <p értékek azonnal rendelkezésre is állnak. Egyúttal azt is láthatjuk, hogy ifs+i = y>q+2— • • • = 0, vagyis tiszta mozgóátlag modellnél az előrejelzési időelőny nem lehet több mint q—l,mert azon túl az előrejelzési hiba szórása már a folyamat szórásával egyezik meg. Tiszta AR, vagy ARMA modell esetén ilyen határt nem lehet adni. Bizonyos mértékig még egyszerű a H (l) számítása AR (1) modell esetében. A (12a) kifejezések ebben az esetben: (1-0,B)(1 + V>,B + v' 2B2+.. ,)=1, ahonnan Wo = 1, Vi = 0i, y> 2 = 0i 2> • • •. V* = 02 iAlkalmazva a (16) összefüggést: i-i i-i Ai)=ot(i+ 2 v/)=oä( 2 0 ?j j=í j=í És mivel í/'V 7 (1) modell esetén 0, = r l ós al= crl(l-rf), ahol ri - az egy lépéses autokorrelációs tényező: i-i al(l) = o?(l-r\).\l+ 2 r^ofíl-r^Á 3=1 ami természetesen Z — oo esetén trf-hez tart. A zárójelben levő kifejezés l-hez tart, mivel — 1 <r, < 1 ós így magas hatványa zérus. A15 (2) modell esetén y együtthatók számítására szolgáló alapegyenlet: (1— 0 2-B 2) (H- • •)=! amiből a y> együtthatók számítására szolgáló összefüggések : Vo = l V>,= 0, V>* = 4>\+4>i y> 3 = ('\ y>2 + + 2 0, 0 2 Va = V-3 + y>2 = 3'l'i'l'i+ 4>l y) ! i = 0 lV i-\-0 2 V s= <t>l-f 40, 30 2-1-20,0/ V« = ">x Vt+^I V|= <+50, 40 2 + 00f0 2 2+ 1>l (f> 7= 0, V) 8+ 0 2 xp.= 0,'+ G0j i0 2-f 1O0?0 2 2+30,0 2 W= V ?+ W= <"1+ 7 4>l0 t + 15 0, 40 2 2+ 9 0*0/+ 0 2 4 s. í. t.
