Hidrológiai Közlöny 1983 (63. évfolyam)

6. szám - Dr. Kontur István: Előrejelzési időelőny és pontosság közötti összefüggés ARMA modellek esetén

257 Hidrológiai Közlöny 1983. 6. sz. \ Előrejelzési időelőny és pontosság közötti összefüggés ARMA modellek esetén DK. KONTUR ISTVÁN' A tanulmány a hidrológiai előrejelzések egyik gyakran előforduló kérdésével foglalkozik, nevezetesen azt vizsgáljuk meg, hogy miként változik (csökkon) az előrejelzés pontossága — megbízhatósága — ha az előrejelzési időelőny növekszik. Ebben a tanulmányban a feltett kérdésekre a választ az előrejelzési modellek egy bizonyos osztályára, a külföldi irodalomban is széleskörűen elterjedt, ún. AUMA (autoregresszív-mozgó átlag) modellek esetén elemezzük. Megmutatjuk, hogy az előrejelzési időelőny' és pontosság összefüggése az AUMA modell paramétereinek egyértelmű függvénye, vagy ami ezzel azonos az idősort jellemző autokorreláeió függvényből számítható. 1. ARMA modellek leírása Mielőtt az előrejelzési időelőny és pontosság összefüggésére rátérnénk röviden összefoglaljuk az autoregresszív mozgóátlag («utoregressive-moving average) ARMA modellekkel kapcsolatos alapismereteket Box—

Jenkins 1970-es klasszikus munkája [1] nyomán, amely azóta orosz nyelven is megjelent és a műszaki tudományokban széleskörűen alkalmazzák. A hazai bemutatására még kevés példa van [2, 3, 4]. Legyenek a diszkrét stacionárius idősor modell elemei z,, z

2,. . .zt, feltételezve, hogy z„ z

2,. . .zt, íi~z átlagértéktől való eltérések. Vezessük még be az alábbi xígynevezett eltolási; (visszaléptetési) operátort B-t: zt-i = Bit, zt-2 = B

2 zt,. . ., z<-i=B

k:<. Ez az operátor gyakorlatilag is hasznos lesz a modellek felírásában és más számolások során. Először írjuk fel a jól ismert és általában használt autoregresszív (AH) modellt: «Í = 3>I3<-1 + 0

2Z<-2 +. . . +0pZi-p+at (1) ahol . . ,0p az autoregresszív modell paraméterei; at a véletlen komponens, gaussi fehér zaj. Ez egy p-ed rendű lineáris modell. A lineáris modell p-j-2 számú ismeretlent tartalmaz:, z0,, '!>., Op, a a'

2. Ahol a

a

2 a ahol 0(B) = 0(B)r.«=a, 0,B-0

2B

2 0p BP zt~-at—6V/Í0./H... — 0qO

t-q ahol 0„ 0

2,. . . &q a súlyszámok. Ismét felhasználva a B eltolási operátort a fl-ad rendű mozgóátlag modell alakja: (3a) (4) ahol Zi=0(B)«, t 0(B) = 1-0

IB-0.,B

2-. . . -0

9B1. * BME Vízgazdálkodási és Vízépítési Intézet, Budapest. A fenti mozgóátlag modell <7 + 2 ismeretlen paramétert tartalmaz : g ; 0„ 0„,. . . 0

g, o

a-. Az autoregeresszív mozgóátlag (AUMA) modell tartalmaz autoregresszív és mozgóátlag tagot is : --0/1/ • • + (l>n~-t - q+

at— 0,«< - 2. . . £)q(lt - ,„ (5) vagy rövidebben az eltolási operátorral: 0(B)z,=e(B)««. (5a) Ez a modell p~\-q+ 2 isinoretlen paramétert tartalmaz: z; 0,, 0o,. . ., 0p, 0,, ö

2,. . . &q

m, o

a'

!, amelyeket az adatokból lehet becsülni. Mogemlítjiik, hogy a p-e d rendű autoregresszív modellt Alt (p)reek, a <7-a<l rendű mozgó átlag modellt MA fí/j-nak és a p-ed rendű autoregresszív g-ad rendű mozgóátlag részt tartalmazó modellt ARMA (p, q)-nak szokás jelölni. Természetesen az utóbbi aleseteiként tárgyalhatók az AR és MA modellek: q=0, illetve p=0. Az 7. ábrán bemutatjuk az Ali, MA és ARMA modellek gráfreprezentációját, folyamatábráját [2]. A következőkben fontos lesz, hogy a zt-1 az a, véletlen impulzusok végtelen összegeként írjuk fel: zt=a

t+ )/'i«<-i+ ip

2

a'-2+ • • • 00 zt=a

t+ 2 n>j(i

t_j= Afí(p) véletlen tag szórásnégyzete, z a fontebb említett átlagérték. A B eltolási operátor segítségével felírva az AR modell az alábbi: (la) (2) MA (ci) vagyis 9>(B) a B eltolási operátorokból képzett jj-ed rendű polinom. Az úgynevezett mozgó átlag (MA) modell származtatása úgy történik, hogy az a

v a

2,. . .at független véletlen, nulla várható értékű és a

a

2 szórásnégyzetű folyamatnak q-a<\ rendű súlyozo'tt átlagát képezzük : AfíMA(p,q)' 1. ábra. Az Alt (p), MA (q) és ARMA (p, q) modellek (/ráfreprezentációja Abb. 1. Oraphrepräsentation der Modelle ATI (p), MA (q) und AHM A (p, q) Fi;/. 1. Graph representation of the AI! (p), MA (q) and AHM A (p, q) models