Hidrológiai Közlöny 1983 (63. évfolyam)
3. szám - Halász Béla: A talajvízduzzasztás analitikus modellje
Halász B.: A talajvízduzzasztás Hidrológiai Közlöny 1983. 3. sz. 123 d 2H w da: 2 T — 0 d 2S . Aw (3/a) dx 2 1 T Itt II —H 0=S — a duzzasztás. A függőleges vízforgalom változása (Aw) az (1) összefüggés figyelembevételével így írható fel: Aw~(c—Ae~ —(c—Ae = AeBa i(eBS— 1) Ennek értelmében a megoldandó differenciál egyenlet a következő alakot ölti: d 2£ Ae'B'o D= y , (3/b) Az egyenlethez járuló kerületi feltételek S=S„ ha x- 0, lim ds/da:=0, lim «=0 (4a, b, e) X— oo °° amelyek sorra azt jelentik, hogy a duzzasztó objektumban fenntartott vízszint S 0-lal magasabb a talajvízszintnél, illetve, hogy a duzzasztó hatás helyétől távolodva a szivárgási veszteségből származó hozam és a duzzasztás mértéke csökken (korlátosság). A (3/b) egyenlet 2 clS/dx-szel szorozva elsőrendű egyenlethez jutunk: A C^ tetszőleges állandót a (4b) és (4c) kerületi feltételből határozhatjuk meg: Visszahelyettesítés után az alábbi szeparálható változójú differenciálegyenletet kapjuk: dS_ dx •H D •», D B^ B S-° S B Ezen egyenlet megoldása a következő: d S (5) s 0 te™— BS— 1 BS / dz (6) \2I)B bs 0 le 2—z—1 A (6) integrált csak numerikusan lehet kiszámítani. Ahhoz, hogy ezt csak egyszer kelljen elvégezni, figyelembevesszük, hogy: BS oo oo J í(z)dz= J f(z)dz— J i(z)dz BS 0 BS 0 BS és bevezetjük a következő jelöléseket: A z , =invR(y), x=x]Í2DB (7a,b) / U'—z—1 Ekkor a duzzasztó hatás az alábbi egyszerű képlettel lesz leírható: invR(tó' 0) j (8) ahol R(x) — a (7/a) összefüggéssel definiált függvény, inv R(y) — az li(x) függvény inverze. A (7/a) integrál kiszámításánál figyelembevéhető, hogy ha 2<scl, akkor elegendő az exponenciális függvény sorfejtésének első három tagjával számolni. Ez az integrandus /~2/z-re való egyszerűsödéséhez vezet. Ez az integrálásnál logaritmust, a keresett függvénynél pedig exponenciális kifejezést ad: R(ar) = 3,2e"" 0> 707 2* ha a->4,9, (A'>0,1) (8/a) Nagy 2-knél az integrandus e _ 05*-veI lesz közelíthetőleg egyenlő. Ez a következő aszimjttotikus kifejezéshez vezet: R(ÍT)=— 2 In 0,5a; x <0,1, (ií> 10) (8/b) A (7/a) integrált a 0,1 cr<4,9 szakaszon numerikusan számítottuk. Végeredményként megkaptuk az R(x) függvény diagrammját (3. ábra). Kis kezdeti nedvesített rétegvastagság mellett a Boussinesq-egyenlet Bagrov-Verigin szerint linearizált alakját alkalmazhatjuk. Ez a: h+h 0 h 2 (8/c) eredményhez vezet. Az (5) összefüggésből a szivárgási veszteség így határozható meg: q=K(H 0+S 0) dx Itt szeretnék rámutatni, hogy bármekkora is K értéke, ha a duzzasztás előtti vízszint esése ellentett irányú, és nagyobb, mint a duzzasztás gradiense, szivárgási veszteség nincs. Ha a duzzasztást előidéző rezervoár ellenálláson (o) keresztül kommunikál a talajvízzel (pl. feliszapolódás), az a következő módon vehető figyelembe. A kontinuitás elvének megfelelően az ellenálláson keresztül áramló vízhozam egyenlő a talajvíz felé továbbadódóval: x<0,1 R(x)= -Zln0i5x x>4,9 R(x)=3,2 exp (-0,7071x) 3. ábra. Az B(x) függvény diagram ja Puc. 3. ffuaepaMMa cfiyuKtiuu R(x) Fig. 3. Graph of the junction ll(x)
