Hidrológiai Közlöny 1982 (62. évfolyam)
10. szám - Dr. Molnár György–dr. Popper György: Felszín alatti vízmozgások szimulálása véges elem-módszerrel
448 Hidrológiai Közlöny 1982. 10. sz. Dr. Molnár Gy.—Dr. Popper Gy.: Felszín alatti h n(x, y) = Gí^ühíx, y) (35) i = l alakban [lásd még a (17) egyenletet is], ahol o\ e jelöli a lokális bázisfüggvényeket, amelyek csak az e-dik elemen vannak a zérustól különbözőként értelmezve. Az általunk alkalmazott lokális bázisfüggvények mind lineárisak és háromszögelemeken vannak értelmezve. A bázisfüggvények úgy vannak definiálva, hogy az co l függvények csak az e-ik elemen különbözőek a zérustól; az i-ik csomópontban co i e(x i, y t) = 1, a többi csomópontban pedig zérus értékűek. Következésképpen az i-ik csomóponthoz tartozó lokális bázisfüggvények (lásd a 3. ábrát) felírhatok. o>i(x, y) = = - [(Vi ~ Vk)x -I- (x k - Xj)y + (xj y k - x ky,)] (36) alakban, ha (x, y) az e-dik elemhez tartozó pont koordinátái; egyébként a>i(x,y) = 0 (37) és A jelöli az elem területét. Az i, j, k indexek jelölik a háromszögelem csúcsait és számozásuk az óramutató járásával ellentétes irányban növekszik. Az elem területét az j I Vi 1 I I X j w 1 I < 3 8) | x k yt 1 | determináns adja. A globális cp t bázisfüggvény azoknak a o\ e lokális bázisfüggvényeknek az uniójának keletkezik, amelyek az i. csomópontban a zérustól különböző értékűek. A globális bázisfüggvényeket tehát a Vi(x, y) = co\ücof, ..., Uwi (39) összefüggés adja, ahol az r í 2 <h \(>H> °h< • • • > <>h) halmaz azokat a lokális bázis függ vényeket foglalja magában, amelyek az i. csomópontban a zérustól különböző értékűek. A (29) egyenletrendszer elemzéséből következik, hogy a lényegébén '.ín' 1 integrál kiszámítását tenné szükségessé. Az integrálok azonban csak akkor vesznek fel a zérustól különböző értéket, ha két bázisfüggvény ugyanazon az elemen „metszi" egymást. Ezért a ténylegesen kiszámítandó integrálok száma a fenti becslésnél lényegesen kisebb. 3.3 Afinit egyenletrendszer együtthatóinak kiszámítása A (31), (32) és (33) alatti integrálok úgy számít-^ hatók ki a legegyszerűbben, ha azokat először egy elemen határozzuk meg. így elemi mátrixokat képezünk, majd ezek felhasználásával már viszonylag egyszerűen előállíthatók a globális mátrixok. Mivel egy elem három csomóponttal rendelkezik, az elemi mátrixok harmadrendűek. Az a elemi merevségi mátrix tipikus alakja a következő : ff + T ff ~ do) 1 do> 1 do) L do> 2 dco± do) 3~ dx dx dx dx dx dx dco 2 da) t do) 2 dco 2 dco 2 dm 3 dx dx dx dx dx dx da) 3 do) x dco 3 dco 2 dco 3 dco 3 dx dx dx dx dx dx ~ da> l da) 1 da> ± do 2 do) í da) 3 ~ dy dy dy dy dy dy da) 2 de»! dco 2 dco 2 da) 2 dco 3 dy dy dy dy dy dy dca 3 do) i da) 3 dco 2 dco g dco 3 dy dy dy dy dy dy dx d y dx d y (40) A víztartó réteg paramétereiről feltesszük, hogy azok egy elemen belül nem változnak; a T transzmisszibilitás ezért emelhető ki az integráljel elé. Az elemi merevségi mátrixban alkalmazott indexek lokálisak és az óramutató járásával ellentétes irányban növekvő számozású csomópontokhoz tartoznak. A (40) összefüggésben szereplő integrálásokat globális koordináta-rendszerben kell végrehajtani. A következő integrációs képleteket alkalmaztuk: Jf^^= ^ T(Y r+ l-Y r+ 2)(Y j-Y h), (41) ahol r = i, j, k ff tt**~-rr(Xr + a-Xr + 1)(Xt Tx,), (42)
