Hidrológiai Közlöny 1982 (62. évfolyam)

10. szám - Dr. Molnár György–dr. Popper György: Felszín alatti vízmozgások szimulálása véges elem-módszerrel

Dr. Molnár Gy.

—Dr. Popper Gy.: Felszín alatti I Hidrológiai Közlöny 1982. 10. sz. 449 k csomópont K.yJ j. csomópont yj) COj W

v 0)

1 0)

2, COj CO

3 f»2

Wl> <

m2

w2' W2

C

U3 ft>3 CO

v a)

3 C0

2, CO

3 co

3. da; di/ (43) II II a>iWi dxdy = -^-A 6 m Fi= / / (pi ^ Qkb{z-x

k, y-y

k)dxdy-\Ja

J i-i + J J ^Edxdy- j g

v<p

tdr (46) n r

2 részletesebb alakban, ahol Q

k a víztartó réteg pontszerű vízkitermelése, illetve betáplálása az x

k, y

k koordinátájú pontban, 6 a Dirac-féle deltafüggvény, m — a pontszerű források, illetve nyelők száma; E pedig a függőleges vízforgalom. A Dirac delta-függvény tulajdonságai miatt az II : ^ Qkö(x-x

t, y-yk)dxdy 4 = 1 (47) 3. ábra. A lokális bázisfüggvény elhelyezkedése egy háromszögelemen Puc. 3. PacnoAOMceaue aokomhoü 6a3UCHoü (ßyHKifuu e npedenax odnoeo mpeyzoAbHozo SAeMenma Abb. 3. Anordnung der lokalen Basisfunktion auf einem Dreieckelement ahoi r = i,j,k, ahol X

i és Y

i az i-dik csomópont koordinátái. Az elemi merevségi mátrixok ismeretében a globális merevségi mátrix már viszonylag egyszerűen állítható elő, éspedig úgy, hogy minden egyes elemi merevségi mátrix minden egyes elemével növeljük a globális merevségi mátrix megfelelő elemét, a következőképpen: Tekintsük valamely elemi merevségi mátrix i, j indexű elemét. Az elem lokális számozási rendszerében i és j az elem két csomópontjának a sorszáma. A globális számozási rendszerben i-nek pésj-nek q felel meg. (Megjegyezzük, hogy ezt a hozzárendelést az ún. „topológia mátrix" formájában kell megadni.) Ekkor az elemi merevségi mátrix i, j indexű elemét hozzáadjuk a globális merevségi mátrix p, q indexű eleméhez. A b elemi dinamikai mátrix tipikus alakja a következő : A (41), (42) integrációs képletekhez hasonlóan a következő formulák alkalmazhatók: (44) cojco, dx dy = — A, ahol r=j, & (45) 1 egyenlő Q

k-val, feltéve, hogy x

k, y

k csomóponti koordináták. A globális teher vektor egyszerűen képezhető: ha Q

k az i-edik csomópontban hat, akkor a Q

k értéket egyszerűen hozzáadjuk az F

t elemhez. Az E függőleges vízforgalom, amelyet At időszakonként állandó értékűnek tételeztünk fel, szintén kifejezhető a bázisfüggvények lineáris kombinációjaként, azaz m E(z,y,t) = 2 EAt)<PÁx>y) (48) k = i alakban, ahol Ej (t), az jB-függvény értéke a ji-edik csomópontban. Ekkor a (46)-ban szereplő ÍJ (p

tE dx dy (49) integrál az n ff 2 Em dy (50

) 3 = 1 alakot ölti. Ezt az integrált is célszerű először egy elemen meghatározni a lokális bázisfüggvények segítségével. Az elemi függőleges vízforgalom a következő összefüggéssel számítható II '0>1 co

1 m

x w

2 wi C03co

2 co

2 co

2 co

2 «3 dxdy w

3 CJÚ

1 co

3 co

2 co

3 co

3 E

3 (51) A globális dinamikai mátrix ugyanazzal az algoritmussal képezhető, mint a globális merevségi mátrix. A (33) alatti összefüggéssel definiált teher vektor i-ik elemét az ottaninál célszerűbb kifejezni az Az (51)-ben szereplő integrálok kiszámítására ismét a (44) és a (45) alatti képleteket alkalmaztuk. A (33)-ban szereplő harmadik integrál a természetes peremfeltételek figyelembevételére szolgál. A ~g

v értékeket elemenként a következőképpen adtuk meg. Jelölje l

r a háromszögelem r-edik és (r + 1) csúcsát (csomópontokat) összekötő oldal hosszát és ~g

v értékét (lásd a 4. ábrát). Az J ~g,<p

tdT (52) « integrált szintén célszerű először egy elemen meg-