Hidrológiai Közlöny 1982 (62. évfolyam)
10. szám - Dr. Molnár György–dr. Popper György: Felszín alatti vízmozgások szimulálása véges elem-módszerrel
Dr. Molnár Gy. —Dr. Popper Gy.: Felszín alatti Hidrológiai Közlöny 1982. 10. sz. 447 Az első tag parciális integrálásával ÍJ m^bwi^b^ dh* fi T = í> T dh n ()(.f dv Vidrdx dx + T dh » rdcpi I dy dy J da; dy (27) adódik. Ha a bázisfüggvényekről feltesszük, hogy kielégítik a lényeges peremfeltételek homogén alakját, azaz azt, hogy a l\ peremrészen (p t{x, y) = 0, ahol i= 1, ..., n, akkor (27)-ben az integrálást r helyett elegendő a /'._, peremrészen végezni: dh n f)h n $ T-j^-cp idr= $ T— d—<pidr (28) '2 ahoi r=r 1ur 2 Ha az így módosított (27) összefüggést behelyettesítjük a (26)-ba és figyelembe vesszük a (17) alatti lineáris kombinációt, akkor a (26) egyenletrendszer a következő alakot ölti: // 2 M d<Pi depó dx dx '- + T d<Pi dy dy f ff S<pí£ (a ({i áx áy= Ü 3=1 —ff fiQdx d//+ f gvCpidF (29) n. Ac + B Frill • 0 (30) A, - ÍJ (' B,i= ff Scpwdxdy (32) l'\= ff cpiQdxdy- f g vT idr (33) n r 2 (33) Vízzáró határ esetén g v = 0 miatt a (33)-ban a másik integrál elhagyható. Vegyük észre, hogy a Galerkin-módszer eredményeként kapott (30) alatti egyenletrendszer azért közönséges differenciálegyenlet-rendszer és nem egyszerű lineáris algebrai egyenletrendszer, mert (13)-ban szereplő L(h) az időtől is függő lineáris operátor és a Galerkin-módszert csak térben alkalmaztuk. 3.2 A véges elem technikának megfelelő bázisfüggvények alkalmazása A (30) egyenletrendszer megoldását nehezíti, hogy általában nagy az V, B mátrixok rendszáma. Ezen a problémán enyhíthetünk, ha a cp t bázisfüggvényeket a véges elem technikának megfelelően választjuk meg, mert akkor az A, B mátrixok alakja szalagmátrix lesz. Másképpen a bázisfüggvényeket úgy kell megválasztani, hogy a (31), (32) és (33) összefüggésekben szereplő II II ™ idxdy ; (fi dx dy (34) II ahol i = 1, Vegyük észre, hogy a lényeges peremfeltételek homogén alakja miatt parciális integrálással (26)nál egyszerűbb egyenletet nyertünk, hiszen amíg (26)-ban másodrendű deriváltak is szerepelnek, (29)-ben már csak elsőrendű deriváltak vannak. Ezért a h" közelítő megoldást is csak kevesebbszer folytonosan differenciálható — azaz kevésbé sima — függvények között kereshetjük, mint a (13) egyenlet pontos megoldását. Ezért, meg azért, mert a megoldástól a peremfeltételek egy részének csak átlagos kielégítését követeljük meg, az egyenletrendszer-megoldásról csak általánosított értelemben, ún. általánosított megoldásról beszélhetünk. A (29) egyenletrendszer felírható az alakú integrálok a lehető legegyszerűbben legye nek kiszámíthatók. Ennek a követelménynek megfelelnek a véges elem — bázisfüggvények, amelyek lényege a következő: A víztartó réteg Q tartományát, amelynek V a pereme, a 2. ábrán vázoltak szerint felosztjuk háromszögelemekre . A bázisfüggvényeket fokozatosan fejlesztjük ki, először lokálisan, egy elemen értelmezzük, majd az egész tartományra vonatkozó globális bázisfüggvényeket az előbbiek uniójával (egyesítésével) nyerjük. Egy elemen a közelítő megoldás felírható y tömörebb alakban, ahol A, B ?i-ed rendű mátrixok, c, dc/dt és F w-elemű vektorok. A szerkezetek mechanikájában elterjedt terminológiát használva, A a merevségi mátrix, 15 a dinamikai mátrix és F a teher vektor. Az A, 15 mátrixok és az F vektor elemei a következők : dx dx dy dy ) 0 2. ábra. A vizsgált terület felosztása háromszögelemekre Puc. 2. Pa36tifíi<a paccMampmaeMoü meppumopuu na rnpeyeoAbHbic 3.ieMenmbi Abb. 2. Aufteilung der untersuchten Fläche auf Dreieckelemente
