Hidrológiai Közlöny 1982 (62. évfolyam)

10. szám - Dr. Molnár György–dr. Popper György: Felszín alatti vízmozgások szimulálása véges elem-módszerrel

446 Hidrológiai Közlöny 1982. 10. sz. Dr. Molnár Gy.—Dr. Popper Gy.: Felszín alatti T —g a r

2 peremrészén, (15) ahol v a r

2 perem külső normálisa. A parciális differenciálegyenletek peremértékfeladatainak numerikus megoldását finitizálással végezzük. Ezen a feladat visszavezetését értjük, véges számú egyenletből álló egyenletrendszer megoldására. A finitizálási módszerek egyike a Galerkin-módszer, amelyet a következőkben ismertetünk. 3.1 Galer kin-módszer Lényege, hogy az L(h)=Q (16) peremérték-feladat közelítő megoldását véges számú, vagyis n — lineárisan független <p

v ún. bázisfüggvény h»(x,y,t) = 2 C

t(t)<p

t(x,y) (17) i = 1 lineáris kombinációjaként keressük. A bázisfüggvényektől megköveteljük, hogy olyan sorozatot alkossanak, hogy ha ÍÍ-I-OO, akkor h

n a h(x,y,t) = ^C

i(!t)

V

i(x,y) (18) i = l pontos megoldáshoz tartson. Mivel véges n esetén h

n a pontos h megoldásnak csak közelítése, h

n nem elégíti ki pontosan a (16) egyenletet; ezért keletkezik az B(h

n)=L(h

n)—Q (19) reziduumnak (maradéknak) nevezett hiba. Pontos megoldás esetén R(h) = 0 (20) A közelítő megoldás meghatározására szolgáló Galerkin-eljárás tárgyalható heurisztikusán is a geometriai szemléletre támaszkodva. Ha a h pontos megoldás a cp

v <p

2, . . . bázisfüggvények (mint vektorok) által kifeszített végtelen dimenziós (az 1. ábrán 3-diemnziós) tér egy vektorának tekintjük, akkor a h

n közelítő megoldás vektorát kénytelenek vagyunk e tér valamely a cp

l

t cp

2, ... q>„ bázisvektorok által kifeszített n — dimenziós alterben (az 1. ábrán síkban) keresni. A h

n lineáris kombináció c

v . . ., c

n együtthatóit abból a követelményből határozzuk meg, hogy az Lm-Q (21) reziduumot mint hibavektort „kiszorítsuk" a qpj, . . ., (p„ bázisvektorok által kifeszített altérből. Ez egyenértékű azzal a követelménnyel, hogy az L(h

n)—Q reziduumvektor legyen ortogonális a <p

v . . ., <p„ bázisvektorok mindegyikére: L(h

n)-Q\-_ <pt-, i=l, . . n. (22) Mivel két —/ és g — függvény ortogonalitása az 1. ábra. A közelítő megoldás és a bázisvektorok kapcsolata, 3 dimenziós altér Puc. 1. CeH3b Mejtcdy npuŐAUMcewihiM peiuenueM u 6ü3UCHbiMu HeKomopaMU. mpembixMepnoe nodpocmpancmeo Abb. 1. Zusammenhang zwischen der annähernden Lösung und den Basisverktoren, 3-dimensioneller Unterraum ffgdQ=0 (23) összefüggéssel értelmezhető, a szóban forgó követelmény felírható a következő alakban: n f í Í4Z) C

j{t)(p

j(x,y))-Q\<p

i(x,y)dxdy=0 J J 1 V l-i ' 1 (24) i= 1, . . ., n. Ennek az ún. Galerkin-féle egyenletrendszernek a megoldásával megkapjuk a keresett c

v . . ., c

n együtthatókat és így a (17) alatti közelítő megoldás is felírható. A Galerkin-féle egyenletek felírhatok olyan alakban is, amikor nemcsak magát a differenciálegyenletet, lianem a (15) alatti peremfeltételeket is csak átlagosan elégítjük ki a r

i peremrészen. ff [

L{ 2 C

i<f>) - Q\ v*

dx á

y= O j=i = f \t j-Cw-g^dr (25) r

2 Megjegyezzük, hogy a (15) alatti peremfeltételeket, amelyeket a közelítő megoldás csak átlagosan elégít ki, természetes peremfeltételeknek, míg a (14) alattiakat, amelyeket a közelítő megoldás pontosan elégít ki, lényeges peremfeltételeknek nevezzük. Helyettesítsük be a (13) alatti L(h) lineáris differenciáloperátort a (25) alatti egyenletbe. Kapjuk, hogy ff Url^-h-i*®}«*«f f s~$r

(P

idxáy

= f f ^

(f'

idx

dy + f T-^-cptdrdv f gv'Pidr, + (26) ahol i= 1,2, ..., n.