Hidrológiai Közlöny 1982 (62. évfolyam)
9. szám - Dr. Benedikt Szvetlana–Dr. V. Nagy Imre: A kiegyenlített biztonsági kritérium alkalmazási lehetőségei a vízgazdálkodásban
388 / Hidrológiai Közlöny 1982. 9. sz. Dr. Benedikt Sz.— Dr. V. Nagy I.: Biztonsági kritérium optimális döntési alternatíva a következőképpen határozható meg. Adottak: — C v C 2,..., C n a döntéshozó lehetséges alternatívái; — a G t alternatívák alkalmazása esetén keletkező lehetséges veszteségeket reprezentáló valószínűségi változó; — Iß — az adott C t alternatíva alkalmazása esetén keletkező veszteségek értékei; — P tj — annak a valószínűsége, hogy C t alternatíva esetén a veszteségek értéke eléri vagy meghaladja az l tj értéket; — B — a döntéshozó által választott biztonság mértéke B[0, Ekkor: C i r opt-min max [Inf {Pa, B)] (3) l i of(P i o, B) = max [l t í f{P l h B)] (9) ahol, Pn=P(li^lil) (4) f(íhh B)={\-B\np t í) » A KBK tehát a döntési alternatívák veszélyességének értékelése során a P i= P i(l)=P(l^l) (6) jelleggörbét veszi alapul, ahol a P^l) annak a valószínűsége, hogy C t alternatíva (víztartás) esetén a veszteségek elérik vagy meghaladják az (l) értéket. Az adott, valamint általános esetben sem létezik olyan C m alternatíva, amellyel kapcsolatban az alábbi állítás lenne igaz: yia P m(l) = min P t(l) (7) ahol L — a lehetséges veszteségek halmaza. Ez azt jelenti, hogy a P^l) jelleggörbék közvetlenül nem használhatók fel az optimális döntési alternatíva kiválasztására. Célszerű tehát az alternatíváknak a veszélyesség szempontjából való összehasonlítása érdekében helyettesíteni a P t(l) jel leggörbéket olyan jelleggörbékkel amelyek: a) a döntéshozónak a kockázat vállalására vonatkozó álláspontját figyelembe véve elegendő információt tartalmaznának a P,(/) jelleggörbék alakulását illetően; b) könnyen összehasonlíthatók egymással s így alkalmasak az optimális döntési alternatíva kiválasztására. A fenti szempontoknak eleget tevő jelleggörbéket a továbbiakban biztonsági jelleggörbéknek nevezzük s aP Bi(l) szimbólummal jelöljük. Bizonyítható [9], hogy a fenti tulajdonságokkal rendelkező biztonsági jelleggörbe egyenlete a következő formában adható meg: _ B lf[Pi(D, B]=max [l t íf{P i h B)\ (8) A biztonsági jelleggörbe tehát általános esetben a P i=P i(l) jelleggörbéjének csupán a (9) összefüggés szerinti (l to, P í 0) pontját adja meg pontosan, míg a többi pont ordinátáit a vállalt kockázat B mérőszámának értékétől függően, többé-kevésbé felértékeli. A KBK kritérium szerint azon G i víztartás tekinthető optimálisnak, amelynek biztonsági jelleggörbéje a legalacsonyabban helyezkedik el. Mivel az (5) összefüggés (P) szerint monoton növekvő függvény, ezért a fenti állítás egyenértékű a (3) összefüggés szerinti meghatározással. A döntéshozó vállalt biztonságát tartalmazó / (P, B) függvény legjellegzetesebb tulajdonságai (8) tehát a következők: 1.f(l,B)=l; B> 0, 2. /(0, B)=0; B>0, 3. f p{P, P)> 0; 0<P=sl, Par 0, 4. fh(P, 0 5. lim /'(P, B)= 1 B OO 6. lim /(P, B)=P, B-0 KP, B) 8. lim 0 f(ap, B) 1; 0, 0<a<l, :0; 0 11. 12. ( f (P. B ) \ ' { f(ap, B))B :0; 0, 0 <a < 1, 0; P> 0 ahol /(Pj, j, B) az (5) összefüggés szerint számítható. Ez a jelleggörbe egy olyan (l i 0, P io) pontban érinti felülről a P t(l) jelleggörbét, amelyre teljesül az alábbi egyenlőség: Felhívjuk a figyelmet a KBK-kritór\am néhány jellegzetes, az / (P, B) függvény által meghatározott sajátosságára (1. ábra). 1. Az /(P, B) függvény fenti, 5 sz. tulajdonságából következik, hogy B= <» esetén a KBKkritérium a minimax kritériumban alakul át. 2. Az / (p, B) függvény 6. sz. tulajdonságából az következik, hogy a ifiJÉT-kritérium B = 0 esetén az optimális alternatívát a Ci, opt —min max (la Pa) (10) i j összefüggés szerint adja meg, tehát ekkor a biztonsági jelleggörbe egyenlete: Ipi =max (lij Pij) (11) j Hasonlítsuk össze a (10) összefüggést a várható érték kritériumával. A Markov-íéle egyenlőtlenség értelmében: IN M{h) (12)
