Hidrológiai Közlöny 1982 (62. évfolyam)

8. szám - Simon Barna: A korrelációs tényező vektori értelmezése. Hozzászólás dr. Vágás István tanulmányához

Hidrológiai Közlöny 1982. 8. sz. 381 A korrelációs tényező vektori értelmezése (Hozzászólás dr. Vágás István: ,,Az árhullám előrejelzés mércekapcsolati módszerei

u c., a Hidrológiai Közlöny 1980. 11. számában megjelent tanulmányához). SIMON BAHN A* Dr. Vágás István tanulmányában bírálat éri a korrelációs tényezőt, mert az nem invariáns a koordinátarendszer elforgatásával szemben, s mert mértékskálája csupán megállapodásszerűen, de nem abszolút módon mérőszáma a pontok jó, vagy rossz illeszkedésének. A műszakilag nem kifogásolt ,,megállapodás" helyességének alátámasztására az alábbiakban a korrelációs tényezőnek egy kevéssé ismert értelmezését adjuk: Alap-értelmezés és jelölések Két változó esetén célunk, hogy az egyiket közelítsük a másik lineáris függvényével, s megtaláljuk a függő változónak a független változóra vonatkoztatott feltételes várható értékének legjobb lineáris közelítését. Jelöljük az n számú mérés — pl. egyidejű vízállás-észlelés — eredményét x

v x

2,. . .x

n, illetve y

vy

2,.. .y«-nel. A mérési eredményeket két féle módon is szemléltethetjük : a) Derékszögű koordinátarendszerben tekinthetjük a sík (x

v y

x), (x

2, y

2), . . . (x

n, y

n) koordinátájú pontjainak. Ez a megszokott ábrázolásmód. b) Kevésbé ismert a vektoros ábrázolásmód, amelynél az n dimenziós tér két vektorának értelmezzük a változókat, X^x^, Y{y

v y

2,...y

n) összetevőkből alkotott két vektorral. Kettőnél több változó esetén ennél az ábrázolás módnál az n dimenziós térben annyi vektort kapunk, ahány változó van. Tekintsük a változókat centralizáltnak, azaz a koordináta rendszer középpontjának alkalmas megválasztásával érjük el, hogy a várható érték minden esetben nulla legyen. A korrelációs együttható Az r korrelációs együttható az ÍC és y centralizált változókra nézve az ismert definícióból: ^ Xi-Vi (i: (x, y)= ^ Xi-y

f= \x\-\y\ -cos q>, V x\ és \y\ 2 2 y> i = 1 i = 1 Ha az n dimenziós tér euklideszi, akkor a vektorok skaláris szorzatát a szokásos módon értelmezhetjük : a fentiek következménye, hogy r- cos (p (3) A korrelációs együttható tehát a vektori értelmezésű változók ÍI-dimenziós térben értelmezett hajlásszögének koszinusza. Ha a közbezárt szög 0, akkor a változók lineárisan is függők, azaz párhuzamosak, a korrelációs tényező ± 1. Ha a közbezárt szög derékszög, a korrelációs tényező 0. A függő változó és a regressziós függvény értékeinek különbségeiből képzett négyzetösszeg négyzetgyöke — ez az előrejelzett és a tényleges értékek eltérése szórásának /n~-szerese — akkor 0, ha r== ± 1. Ha r — 0, úgy az eltérések szórása is növekvő, mégpedig szigorúan monoton módon. Az eltérések egyik szokásos kifejezése A Vágás I. által írt tanulmány csak a mért és a számított értékek eltérését tekinti abszolútnak, a varianciák korrelációs tényező útján értelmezett redukcióját (lásd: 34. egyenlete) már nem fogadja el. Mégis, érdemes rámutatni e redukció eredetére is. A szakirodalomban használatos összefüggés levezethető azzal a meggondolással, hogy az x ós y változók lineáris kapcsolatától értett eltérést kifejezhetjük azzal a távolsággal is, amelyet az X és Y vektorok által értelmezett síkon az Y vektorvégpontjából az X vektor egyenesére bocsátott merőlegesen mérhetünk (1. ábra). Minthogy az X és az Y vektor hajlásszöge <p, ezért az eltérés V vektorának I v I hossza: -cos

2 (p= y i 1 (4) \

v\ — \y\ si

n <p= \ y\ -Vi • Ez bizonyos értelemben kétségtelenül jellemzi a kapcsolat szorosságát, de az r invarianciájának hiánya jellemzi, másrészt maga a fogalom különbözik az „eltérés" Vágás I. által elfogadott értelmezésétől is. (2) ahol: | x | és | y \ az X és Y vektorok (n-dimenziós) ,,hossza", <p pedig az általuk bezárt „szög". Mintbogy * Felsőtisza vidéki Vízügyi Igazgatóság, Nyíregyháza M= \y\ sin<P=\y\Yl-cos

!r r = cos9