Hidrológiai Közlöny 1982 (62. évfolyam)

7. szám - Gáspár Csaba: Perem-integrálegyenlet módszer alkalmazása szivárgási problémákra

Gáspár Cs.: Perem-integrálegyenlet módszer Hidrológiai Közlöny 1982. 7. sz. 321 kevert típusú peremérték feladat, ahol ip

l adott függvény. (7) alapján, a megfelelő perem-integrálegvenlet: " " ~ (12) • a -u+Ku —Rv= 0 2it u\

r

i=<p

v v\r

2=0 dV Ennek megoldása azonnal U |r-t ill. —7— | -t szolgáltatja, melyből U értéke tetszőleges z—(z

vz

2) pontban az U(z)=-(Ku)(z) + (Rv)(z) (13) összefüggésből számítható. (b) Szivárgás inhomogén, izotróp közegen keresztül Tegyük fel, hogy az inhomogenitás olyan, hogy ü egyes résztartományain belül a szivárgási tényező konstans. Egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy Q két résztartomány, Q

l és Q

2 egyesítése, ahol fíj-en belül a szivárgási tényező íc

v íi.,-n belül pedig k

2. Jelölje U

v ill. U

2 az í^-re, ill. az ß

2-re vonatkozó sebesség-potenciált. Q határán most is kevert típusú peremfeltételek tehetők, ezen felül az Q

v ü,-t elválasztó határon — melyet jelöljünk ^„-lal — érvényesek az ^ilr

0= U

2\r

0, 4

a dn /• dn = 0 feltételek. A matematikai modell most tehát a dx* Uj = <pj, dxl dÜ4 — 0 0 = 1,2) (14) •y r„ dn — 0 ^11 * ' rv o ^V* * ^ » — ^ dxl L'22 ' dx\ (d) Szabad felszínű szivárgások Az 1. ábra egy porózus fal keresztmetszetét mutatja. A fal anyaga egyszerűség kedvéért legyen homogén és izotróp, egységnyi szivárgási tényezővel. Meghatározandó a falon keresztülszivárgó víz (a priori ismeretlen) szabád felszíne. Az U sebesség-potenciál az ü tartományban kielégíti a Laplace-egyenletet. A peremfeltételek: U — H

1 A B mentén U = H

2 CD mentén dü dn=° U(x, y) = y U{x, y)=y, du dn BC mentén DE mentén = 0 AE mentén dn U

x\r

0 = U

2\r

0, K--^on 1 ,

0 , j n ún. interface probléma, ahol q>

v cp

2 adottak, l\j, ill. r.,j jelöli a I\ ill. I\, peremszakaszok Qj határára eső részét (j—1, 2). A megfelelő perem-integrálegyenlet : —í— a, -Uj + KjUj— RjVj=0 (j= 1, 2) 2 71 r

t

i = <Pi> vi l

r2j-° 2) (15) ui I r

Q « w

2 I r

o, h

vi I /

0 + k-i

v2 I r

Q= 0 Hasonlóképpen járhatunk el, ha Q kettőnél több, egyenként homogén résztartományból áll. (c) Szivárgás anizotrop közegen keresztül Tegyük fel, hogy a főirányok egyeznek a koordinátatengelyek irányaival, ekkor az U sebességpotenciál kielégíti ü-n a A matematikai modell tehát egy szabad felszínprobléma. Az AE ív a priori ismeretlen helyzetű, ugyanakkor AE mentén két független peremfeltétel is kitűzhető. Baiocchi és munkatársai [1] bebizonyították, hogy a fenti problémának létezik egyetlen megoldása (nem részletezzük, hogy milyen értelemben). Taylor és Brown [7] a következő iterációs eljárást javasolták a szabad felszín meghatározására. Keressük az AE ívet egy g(x) folytonos, monoton fogyó függvény grafikonjaként: 1. lépés: Vegyünk fel egy induló g függvényt (és ezzel együtt Ü induló közelítését), melyre g(0) = H

v g(d)>H

2 2. lépés: Oldjuk meg a Laplace-egyenletet a fenti peremfeltételek mellett, AE mentén csak dU a ———=0 feltételt véve figyelembe. dn 3. lépés: Korrigáljuk g-t (és ezzel együtt ÍM): a javított függvény értéke x-ben legyen U[x, g(x)], és ismételjük az eljárást a 2. lépéstől. (16) elliptikus differenciálegyenletet. Jelölje • A

2: = k.

1

2jk

u. Ha X konstans, a V(x

l, x

2) : — U(x

v Xx

2) transzformáció segítségével a problémát (a), (b) valamelyikére vezetjük vissza. 1. ábra. Szabad felszínű szivárgás porózus falon keresztül Puc. 1. <PuAbinpaifitíi co coeoőodHOÜ noeepxHocmbio nepe3 nopo3nyw cmerny Pig. 1. Uncofined seepage flow across a porous wall