Hidrológiai Közlöny 1982 (62. évfolyam)
7. szám - Gáspár Csaba: Perem-integrálegyenlet módszer alkalmazása szivárgási problémákra
322 Hidrológiai Közlöny 1982. 7. sz. Gáspár Cs.: Perem-integrálegyenlet módszer Megjegyezzük, hogy az eljárás konvergenciája nincs bebizonyítva, de a gyakorlati tapasztalatok pozitívak: reális kezdeti közelítésből kiindulva a szükséges iterációs lépések száma általábaii 10 alatt marad. Az iteráció minden egyes lépésében megoldandó egy kétdimenziós kevert peremérték feladat, ugyanakkor a megoldás értékeire csak az AE peremszakaszon van szükségünk. Ezért igen előnyös a perem-integrálegyenlet módszer alkalmazása. p]kkor az iteráció minden lépésében egy (a) típusú feladatot kell megoldani. 3. A perem-integrálegyenlet numerikus megoldása A konkrét szivárgási problémát leíró pere mérték feladatot helyettesítve a megfelelő perem-integrá egyenlettel, a probléma most már egy — lényeges ben egydimenziós — integrálegyenlet numerikumegoldása. Erre számos standard módszer kínálkozik. Mi most egy kollokációs módszert mutatunk be. Egyszerűség kedvéért szorítkozzunk a (12) kevert feladatra. Osszuk fel F-t sorrendben a l\. . ,P N osztópontokkal N — nem feltétlen egyenlő hosszúságú részre. Az így nyert peremszakaszokat már egyenes-szakaszoknak tekintjük. Jelölje P A4 1: = P v Jelölje j — 1..., A-re azt a r-n értelmezett folytonos, szakaszonként lineáris függvényt, melyre 0j(Pj)= 1, és 0j(P k) = 0 k^j-re. Legyen j= 1,. . ., A-re H'j az a F-n értelmezett, szakaszonként konstans függvény, melyre fj—1 PjPj + 1-en, másutt zérus. u-t keressük <P V. . . ,0^-ek, v-t pedig XF V. . . ,Wyek lineáris kombinációjaként: y y u=2 ju j.0 j, v=Y jv j.W j > (17) ;'= i 3 = 1 ahol Uj, Vj-k egyelőre ismeretlen együtthatók. Behelyettesítve (17)-et (12)-be, a következő lineáris algebrai egyenletrendszert nyerjük: y y ~2—<X-kUk+ K k jUj- R kjVj = 0 j=1 3=1 (4=1, ...,N) (18) u k = (pk minden T^-re eső P<-ra (19) v/c = 0 minden olyan k-ra, melyre P/.P/. +1 /Vnek része, (20) ahol K kj = (K0j) (P k), R k j = (RWj) (P k), <p k = T l(P k), és <x k jelöli a perem belső törésszögét P k-ban. A P v. . . ,Py pontokat úgy kell megválasztani, hogy minden k esetén — kizáró módon — vagy a (19) vagy a (20) egyenlőség feltétele teljesüljön. Ily módon 2N egyenletből álló rendszert nyerünk, melyből N egyenlet azonnal eliminálható. A 0j. Wj függvények fenti módon való választása esetén a K kj, R kj együtthatók pontosan kiszámíthatók. Az elég hosszadalmas számítás részleteit elhagyva, a 2. ábra jelöléseivel: PK 2. ábra. Jelölések a diszkretizált perem-integrálegyenlet együtthatóinak számításához Puc. 2. Oóo3iumenun K paciemy Koaificßuiiueiimoe ducxpemupoeahiHoeo urimeepaAbHoeo ypaenenuH no Konmypy Fig. 2. Notations used in the computation of the coefficients of the discretized boundary integral equation K kj = Sj1Ij— 1-\-8j + 1Ij + 1, h&k^jl, -j,j+ 1 Kj—v i = sj+ Kj, , = 0 K j+ V j=Sj— 1Ij— 1, ahol /»_, = C ° I —y, cos y + sin y dog ° ° I és 6 h = -A cos /3+sin ß dog -g-j továbbá Sj—i (ill. ( —l)-gyel egyenlő, ha a Pj-yPj szakaszon (ill. a PjPj + 1 szakaszon) a F peremíi-ból kifelé mutató normálvektora háromszög (ill. a P kPj + 1Pj háromszög) belsejébe mutat, ellenkező esetben 1-gyel egyenlő. Az R kj együtthatók: R kj = b 1 — b Ocosß • log b 0 — «jCos/So • log «, — a 1ß l sin ß 0, ha,k^j,j-\-l,éa Rj,j=Rj + 1, } = b 1~b^ogb v Végezetül, vessük össze röviden műveletigény szempontjából a pe rem - i n leg rá 1 eg yen 1 et módszert a hagyományos véges differencia , ill. véges elemmódszerekkel (VDM, VEM). Ezeknél a teljes Q tartományt kell felbontani, mégpedig — azonos fel bontássűrűség eléréséhez — nagyságrendben N 2 rács-, ill. csomóponttal. Az 1. táblázat a VDM, ill. VEM által nyert algebrai egyenletrendszer jellemző sajátságait hasonlítja össze a peremintegrálegyenlet módszer (PIEM) által nyert egyenletrendszer sajátságaival. Csak a nagyságrendeket tüntetjük fel. Látható, hogy bár a perem-integrálegyenlet módszer — ellentétben a másik két módszerrel — nem szimmetrikus, tele mátrixú lineáris egyenletrendszerre vezet, memória- és gépidőigénye egyaránt egy nagyságrenddel kisebb. A peremintegrálegyenlet módszer további előnye, hogy elmarad a tartomány felosztásának és az elemek
