Hidrológiai Közlöny 1982 (62. évfolyam)
7. szám - Gáspár Csaba: Perem-integrálegyenlet módszer alkalmazása szivárgási problémákra
320 Hidrológiai Közlöny 1982. 7. sz. Gáspár Cs.: Perem-integrálegyenlet módszer Azt kaptuk, hogy, ha az U függvény kielégíti az (1) Poisson-egyenletet, akkor az U-nak F-n vett nyomai — az u, v függvények — kielégítik a (7) perem-integrálegyenletet (legalábbis akkor, ha U az előzőekben kikötött simasági tulajdonsággal rendelkezik). Megfordítva, tegyük fel, hogy az u, v függvények adott / mellett kielégítik a (7) egyenletet. Most definiáljuk U-t az (5) formulával. Akkor ez az U függvény kielégíti az (1) Poisson-egyenletet (ld. pl. [8]). Továbbá (6) figyelembevételével, a F perem minden x = (x v x 2) pontjára U(x) = [2n -*(x)Mx) —(Ku)(x) + (Rv)(x) -(Lf)(x)=u(x)—«(x) + (Kn)(x) -(Rv)(x) + (Lf)(x) ahonnan, (7)-tel összehasonlítva kapjuk, hogy dU U(x)=u(x). Ezért az u, pár is kielégíti (7)-t. Innen dn dU (8) Ha most az R operátor egy-egy-értelmíí, akkor (8)-ból dU dn =v következik. Azt kaptuk, hogy, ha az u, v függvények kielégítik a (7) perem-integrálegyenletet, és az R operátor egy-egy-értelmű, akkor az (5) formulával definiált U függvény megoldása az (1) Poisson-egyenletnek, továbbá U r-ra való leszűkítése épj> u-t adja, dUjíhi pedig v-vel egyezik. Kérdés, hogy R milyen esetekben egy-egy-értelmű. Megmutatjuk, hogy R csak kivételes esetekben lehet nem egy-egy értelmű. Felhasználjuk azt az állítást [8], hogy ha v^ 0 és Rv azonosan konstans F-n, akkor szükségképp / v^O. Ha X tetszőleges pozitív szám, jelölje /';. a Xszorosára nyújtott görbét, azaz a Xx pontok alkotta görbét, midőn x befutja F-t. Jelölje RA a A görbének megfelelő, (3) által definiált egyszerű rétegpotenciált. Továbbá, ha v egy F-n definiált függvényjegyen Vx(Xx) : = v(x), akkor v k már F,-n definiált. Nyilvánvaló, hogy (RxVx)(Xx) = = "tV / ]og [p(X í yi)2 + • r •v(y) X dS v= = ~ l0g A •/ V+ 1 {RV){X) (9 ) r Tegyük most fel, hogy R nem egy-egy-értelmű, zaz van oly v^O függvény, hogy Rv = 0. Ekkor J v^O, ennélfogva (0)-ből nyerjük, hogy minden r X > 0, X 1 esetén RtVn = C = konst. ^ 0 (10) Megmutatjuk, hogy az Rx operátor már egy-egyértelmű minden X>0, X^l mellett. Ha ui. valamely wx függvényre R\u>x = 0, akkor alkalmas c konstans mellett J (c -vx + wx) = 0, és (10) alaprx ján Rx(c-VI + WX) = cC = konst. Innen szükségképp + = 0, ahonnan miatt c=0. Következésképp wx~0. így Rx csak a zérusfüggvényen tűnik el, azaz egy-egy-értelmű. Ha tehát az R operátor történetesen nem egy-egy-értelmű, akkor R-et egy tetszőleges / >0, X ^ 1 faktorral való nyújtás — vagy ami ezzel ekvivalens, a koordinátarendszer egységének megváltoztatása — már jegy-egy-értelművé teszi. Mivel pedig a gyakorlati feladatokban a koordinátarendszer egységének megválasztása közömbös, feltehető, hogy R egy-egy-értelmű. Csatoljunk most (l)-hez valamilyen peremfeltételt, és ugyanezt csatoljuk a (7) perem-integrálegyenlethez is. Fentiekből következik, hogy, ha az így nyert peremérték feladatnak létezik éspedig egyetlen U megoldása, akkor a megfelelő peremintegrálegyenletnek is pontosan egy (u, v) megoldása létezik. Mégpedig u megegyezik [7-nak F-ra való leszűkítésével, v pedig dU/dn-nel: u, v ismeretében pedig U az (5) formula alapján számítható. ily módon az (1) Poisson-egyenletre vonatkozó peremérték feladat helyett elég a (7) peremintegrálegyenletet megoldani ugyanazon peremfeltételek mellett. Megjegyezzük, hogy a fenti állítások sokkal általánosabb matematikai struktúrában :— Szoboljev-féle függvényterekben — is igazak maradnak, ami lehetővé teszi az É7-ra tett — meglehetősen erős — differenciálhatósági feltételek gyengítését. Ezt a kérdést itt nem részletezzük. 2. Alkalmazás kétdimenziós stacionárius szivárgási problémákra (a) Szivárgás homogén és izotróp közegen keresztül Jelölje U a sebesség-potenciált, akkor az ü szivárgási tartományon U kielégíti a Laplace-egyenletet. Jelölje F ± a r peremnek azt a részét, amely szabad víztérrel érintkezik. Itt peremfeltételként az U potenciált explicite megadjuk. Tegyük fel, hogy a perem megmaradt részét — melyet jelöljünk /Vvel — vízzáró réteg határolja. Itt a dU/dn = 0 peremfeltétel érvényes. A matematikai modell tehát a d 2U dxi d 2U dx\ = 0 Q -n ü\ r = <Pi> dU dn (11) = 0
