Hidrológiai Közlöny 1982 (62. évfolyam)

7. szám - Gáspár Csaba: Perem-integrálegyenlet módszer alkalmazása szivárgási problémákra

319 Hidrológiai Közlöny 1982. 7. sz. Perem-integrálegyenlet módszer alkalmazása szivárgási problémákra GÁSPÁR CSABA* Bevezetés A szivárgási problémák megoldása, noha általában a Darey-törvényt kielégítő potenoiálos áramlásról van szó, a határfeltételek bonyolultsága, a szabad felszín pontos helyzetének domináns szerepe stb. folytán matematikai észközökkel gyakran igen nagy nehézségekbe ütközik, illetve a rendelkezésre álló digitális számítógépek ki nem elégítő kapacitása miatt csak durva közelítéshez vezet. Ezért két- és háromdimenziós szivárgások esetén egyaránt az elektromos analóg számítógépeket használják, ami egyedi vizsgálatokra különösen jó és megbízható módszer |4] , de ha változtatások sorozatát kell végigvizsgálni [5], akkor csupán részleges automatizáltsága folytán igen egyhangú és hosszadalmas munkát jelent, és a figyelemkoncentráció kiesésének veszélye állandóan fennáll. A szerző már hosszabb ideje foglalkozott a peremintegrálegyenlet módszerrel [2], [3], mely igen nagymértékű rácspontmegtakarítást tesz lehetségessé, és így a hazai számítógépek segítségével is igen bonyolult — bár egyelőre csak kétdimenziós —- szivárgási problémák megoldását is lehetővé tudja tenni. Egy egyszerűbb alkalmazásra is módja nyílott, de ennek sikere ellenére további vizsgálatokra nem nyilvánult meg igény. A'gyakorlati alkalmazás szintjéig kidolgozott módszert a szerző 1980 elején vázolta Haszpra Ottó professzornak, aki nyomban felajánlotta a VTTUKI-ban végzett analóg vizsgálatainak eredményét [5] a módszer ellenőrzésére, majd a módszernek a Hidrológiai Közlönyben való ismertetését javasolta. Ennek első eredménye ez a tanulmány, mely elsősorban a módszer elméletével és alkalmazási lehetőségeivel foglalkozik. Egy vagy két későbbi cikkben azonban a konkrét gyakorlati alkalmazásokra és azok megbízhatóságára is kitérünk. 1. A perem-integrálegyenlet módszer Durván fogalmazva a perem-integrálegyenlet módszer egy (két- vagy többdimenziós) tartományon adott peremérték feladat visszevezetése egy olyan integrálegyenletre, mely csak aszóbanforgó tartomány határán van kitűzve. Ily módon — első lépésben — egy, az eredetinél eggyel kisebb dimenziós feladatot nyerünk. Ennek megoldása után az eredeti peremérték feladat teljes megoldását már csupa direkt művelettel, tehát újabb egyenletmegoldás nélkül kaphatjuk meg. Stacionárius szivárgási problémák esetén pl., ha a közeg homogén és izotróp, a megoldandó peremérték-feladat a sebességpotenciálra vonatkozó Laplace-egyenlet, melyhez különböző rendszerint kevert típusú - peremfeltételeket csatolunk. Legyen Q egy kétdimenziós korlátos tartomány, jelölje F a peremét, Q pedig a lezárását (azaz az Qés a F ponthalmazok egyesítését). A módszert a d*U dxl •+ j)HJ_ dxl -f Poisson-egyenlet példáján mutatjuk be. Legyenek x = {x

v x

2), y=(y

v y-<) tetszőleges pontok, és jelölje 1 E(x, y): = 4r 71 log [(*!-*/!) 2+(*2-2/2) 2](1) Vezessük be a következő integráloperátorokat. Legyen x = (x

1, x

2) tetszőleges pont. Legyen / folytonos függvény ß-n, u, v pedig folytonos függvények F-n, és (Lf)(x):= JJ E(x,y)f(y)dy (2) £2 (Iív)(x):= j E(x, y)v(y) áS

y (3) r (.Ku)(x): = J y)<y) d

S» (4) A L operátort logaritmikus potenciálnak, K-t kettősréteg potenciálnak, 11-et pedig egyszerű réteg potenciálnak nevezzük. Green tétele értelmében minden olyan U függvény, mely kétszer folytonosan differenciálható Q-n, egyszer pedig az ü lezáráson, előáll három, fenti típusú potenciál összegeként, mégpedig: U(z)= -(Ku)(z) + (Ev)(z)- (Lf)(z) (5 %) ahol z=(z

v z

2) Q tetszőleges pontja; u jelöli az U dU függvény leszűkítését T-ra, v pedig a — — normális irány menti deriváltat F-n, és /: = ( -4- ^ 0 . Legyen most z=(x

v%

2) a F dx\ perem egy tetszőleges pontja. Elvégezve a z^-x határátmenetet, az (5) egyenletben már — az egyedüli / függvény kivételével — csupa olyan függvények fognak szerepelni, melyek csak a F peremen értelmezettek. Igazolható [6, 8], hogy a logaritmikus és egyszerű réteg potenciálok folytonos függvények az egész síkon, a kettősréteg potenciálnak azonban ugrása van a F peremen. Mégpedig: lim (Ku)(z) = —[2n-x(x)]u(x) 4- (Ku)(x) (6) z -*-x zn ahol a.(x) jelöli a F perem x-heli belső törésszögét, z = (z

v z

2) pedig az ü tartomány pontja. (6) figyelembevételével az (5) egyenlőségből a z-+x határátmenet után nyerjük az — «(«)«(«) + (Ku)(x) -(Rv)(x)= ~{Lf)(x) (7) 2 n * Semmelweis Orvostudományi Egyetem, Budapest xin. perem-integrálegyenletet.