Hidrológiai Közlöny 1981 (61. évfolyam)
12. szám - Dr. Mikolás Miklós: A Hagen-Poiseullie-törvény kiterjesztése az elliptikus integrálok elmélete alapján
Dr. Mikolás M.: A Hagen—Poiseuille törvény Hidrológiai Közlöny 1981. 12. sz. 539 hogy az utolsó feltétel alapján a Ap=p(z-\-Az) —p(z) negatív nyomásváltozásra a Ap p 1-p Az l (<0) (2.5) formula érvényes, ahol p l és p 2 a kezdeti (legnagyobb) ill. a végső (legkisebb) nyomásértéket jelöli. Tekintsük az a;y-síknak azt az AfíCD részét, amelyet az r = éR(e<&<l), r+Ar= (ö+Ad)R egyenletű ellipszisek, valamint a q> és cp-\-Aq> polárszögekkel jellemzett félegyenesek határolnak; állítsunk ennek minden határpontjában merőlegeseket s messiik el az utóbbiakat a csőtengely z és z-j-Az koordinátájú pontján átfektetett, az zy-síkkal párhuzamos síkokkal (1. -2. ábra). Az említett merőlegesek megfelelő darabjai és a felhasznált parallel síkok által határolt térfogatelemre ható összes erőknek egyensúlyban kell lenniük, tehát írhatjuk: _ Ap-(ABCD területe)% -Az[(CD ívhossza) • r n— (AB ívhossza)TOH], (2.6) (& + A9)R W 4- A(p As= J yt R(&)]*+[R'(0)]* d& <f 9 + At AI=\ J [R(0)] 2d0 <e jelöléseket használva adódik: AB ívhossza As, CD ívhossza =(#-M#)s, ABCD területe =AÍ)(2V+Ati) Al, úgyhogy (2.6) a következő alakra hozható: Ap Al (Ö+AV) t -fix (0 + J»)R »R •-(fi+AÖ) (2.9) Afi v 1 7 Az As Ha itt — 0, A<p -*0, zls —0 határátmeneteket végzünk és figyelembe vesszük a (2.5) formulát, arra jutunk, hogy d(fir ) d azaz fi l dl ds 1 Az A l> és BC vetületű „határlapok" mentén nyilván nem lép fel nyírófeszültség. A belső súrlódás ugyanis tapasztalat szerint csak olvan „áramlási fonalak" mentén jelentkezik, amelyek egymás mellett különböző sebességgel mozognak, tehát különböző távolságra vannak az áramlástér határától. /. ábra. — Gyűrűszerű elliptikus keresztmetszet és a hozzátartozó polárrendszer Puc. 7. KoAbifeoópa3noe 3AAunmwiecKoe ceneuue u rwAiipnan cucmeMa, oinnocnii)eecsi K neMy ahol x m ill. T (0 +a térfogatelem AB ill. CD vetületű „határlapja" mentén ható (kis méretek esetén közelítőleg konstansnak vehető) nyírófeszültség jele. 1 Mivel — mint tudjuk — bármely szakaszonként sima,bepolárkoordinátás egyenlettel jellemzett síkgör ívhossza vagy egy ABCD típusú síkidom területe integrálalakban fejezhető ki, a J>R eR í — 0 z z*Az l 7 2. ábra. -— Az áramlástér adott polárszöghöz tartozó síkmetszete Puc. 2. IlAOCKoe ceuenue npoempananea deunceuuíi, omíiocnujeecfi K 3adauiioMy noAHpnoMy yzAy (2.7) (2.8) dl dl ds 1 R 2 ds dep ' dtp 2 VRt+R't folytán: cl ---fi fi l R 2 ÍR 2+R' 2 (2.10) A (2.10) differenciálegyenletből fi szerinti integrálással, majd fi = rjR, t r=r jelölésváltoztatással nyerjük: • R +K e, , -, (2.11) |R 2+R' 2 r ahol az utolsó tagban minden <jp-re fenn kell hogy álljon a (2.12) lim K c, q, =0 e->- +o feltétel. A nyírófeszültség és a sebesség közötti (2.1) kapcsolat alapján azonban (2.11) ekvivalens a
