Hidrológiai Közlöny 1981 (61. évfolyam)

12. szám - Dr. Mikolás Miklós: A Hagen-Poiseullie-törvény kiterjesztése az elliptikus integrálok elmélete alapján

540 Hidrológiai Közlöny 1981. 12. sz. Dr. Mikolás M.: A Hagen—Poiseuille törvény í)v Yr I

h-Vi 2 rjl R 1' I! 2 Jí ,"2 Ke, q> R r V Következőleg v-nek (2.17) alatti és ./i'-nek (2.4) alatti kifejezését behelyettesítve, könnyű átalakítások és összevonások után adódik: összefüggéssel, amely r szerinti integrálás után a P1-P2 4 rfl R' \2l-l/2 V + P1-P2 Ur/l \ 1 K

e"

p Rlnr+Cs R' In e -112 X V (2.13) dcp ' előállítást szolgáltatja. (C újabb integrációs állandó.) ' e'

cP Az áramlási tér határán nyilván teljesülnek a v

RR=0, V,TUR= 0 (2.14) feltételek, s ezeknek (2.13)-ra való érvényesítésével adódik

2: X/ 4+(4-)] 0 (ft-p,)(a6)

« L (l-e

2)

2 4 Tjl [ In e X (3.2) X TI/2 / dcp 0 T

a,

b(v)\'[Ta,b(cp)]

2+[Uc((p)y R' \2l-l 12 e2_l . , (2.15) v\ f

2 r* 1 ln e R' V

2!"

1'

2 x így végeredményben (2.13) szerint a keresett sebességeloszlási törvény ( eR < r < R): Hí)l" /'l /':! 4rjl Itt c—(a

2—b

2)

11

2 a kersztmetszetet határoló külső ellipszis lineáris excentricitása, továbbá T

a, (,(<?) = a

2sin

299 + 6

2eos

2<p, U

c((p) = c

2 sin q> cos cp. (3.3) Az elliptikus függvények és integrálok általános elmélete szerint (vö. pl. [4], [18] és [11], 21.6 szakasz) a (3.2) alatti utolsó integrál az ún. harmadfajú teljes elliptikus integrálok osztályába tartozik, minthogy x — tg cp helyettesítéssel X xÍR

2-r

2+R

2 In — l. In e r (2.17) / 1 dx (3.4) Kiemeljük, hogy (2.17) speciálisan körgyűrűkeresztmetszet, tehát R — R

y = konstans, eR

1 = =R.

2 = konstans esetén egy ismert egzakt formulába megy át (vö. pl. [13], 63. o.): Pi~ 4 T}1 Pi fp: T T Rl-Rl ln 1 1 ln (RJR

2) *" R, (R^r^RJ (2.18) 3. A Hagen-Poisouillc-í'éle törvény általánosítása Jelöljük V-tal az ún. térfogatáramot, tehát a cső valamely keresztmetszetén az időegység alatt átáramló folyadék térfogatát. Ekkor a vektoranalízisnek egy klasszikus formulája szerint: V = jj váxdy, (3.1) ahol a a cső keresztmetszetét, v = v(x, y) az áramlási sebességet jelenti. Az x=r cos (f, y = r sin cp polártranszformáció alkalmazásával (amelynek függvénydeterminánsa tudvalevőleg egyszerűen r) az utolsó kettős integrál így is írható: 2JT II 0 (a

2a;

2+6

2)]/(a

2^

2+&

2)

2-f c

2x

2 alakra hozható. Ily módon lehetőség van arra, hogy a szóban forgó integrált alkalmas racionális függvényekből képezett tehát a klasszikus értelemben kiszámítható -— integrálok segítségével jól megbecsüljük. V-nak legkönnyebben kezelhető előállítására azonban úgy jutunk, hogy a (3.2)-ben szereplő integrált egy kevéssé ismert transzformációs formula alapján a jt/2 d ip K(x) / fl->í

2si (M (3.5) sin rp elsőfajú teljes elliptikus integrállal hozzuk kapcsolatba. Bármely olyan A valós számpárra ugyanis, amely kielégíti a ?Í

2-(-A

2=1 feltételt, fennáll az ji/2 / d\p 0 [1 — (1 — X) sin

2 f]\/1 — x

2 sin? w (3.6) J [ f v(

r> <p)r rí

(P0 sí! * Vegyük észre, hogy A'«, v-nek (2.15) alatti kifejezése egyúttal eleget tesz a (2.12) megszorításnak. összefüggés. (Vö. [1], 509—600; [8], 68—69; [9], 39—41.) 7t Ha tehát a fent említett integrálban qo=—-— xp A helyettesítést végzünk, majd A = 6

2/ct

2, x

2 = = (a

l—b

l) /a

4 mellett alkalmazzuk (3.6)-ot, akkor adódik: