Hidrológiai Közlöny 1981 (61. évfolyam)
12. szám - Dr. Mikolás Miklós: A Hagen-Poiseullie-törvény kiterjesztése az elliptikus integrálok elmélete alapján
538 Hidrológiai Közlöny 1981. 11. sz. A Hagen-Poiseuille-törvény kiterjesztése az elliptikus integrálok elmélete alapján DK. M I K O I, Á S MIKLÓS* egyetemi tanár A lamináris áramlások alaptörvényét újszerű geometriai és analitikus meggondolások alapján sikerült a szerzőnek a közelmúltban gyűrűszerű keresztmetszetek bizonyos általánosai)!) típusaira kiterjesztenie. E dolgozat az elliptikus keresztmetszetek esetével foglalkozik, amelyben az elliptikus integrálok elmélete segítségével az ún. térfogatáram kivételesen egyszerű integrál- vagy soralakban állítható elő. 1. Bevezetés Mint isrAeretes, a newtoni folyadékok lamináris áramlását leíró Hagen—Poiseuille-féle törvény, amely felfedezése (1839—40) után nem sokkal általánosan használatossá vált a fizika, kémia és biológia különböző területein, a legutóbbi évtizedekben beleépült a műszaki szakirodalomba is. (Vö. pl. [3], [6], [7], [16], [17].) Az alkalmazásoknak azonban komoly korlátja az a tény, hogy az említett törvény szigorúan véve csak kör- vagy körgyűrű alakú keresztmetszet esetére érvényes. Minden más esetben a klasszikus levezetési mód (az egyensúlyi feltétel megállapítása valamely „áramlási fonalra" ható összes erők vonatkozásában, majd innen integrációval a megfelelő sebességeloszlásra ill. térfogatáramra való következtetés — vö. pl. [10], 189—190) csupán közelítő eredményt szolgáltat. Ugyanez a helyzet, ha egy Greenhill-féle analógiára (1881) támaszkodva feltesszük, hogy a v sebesség az egész áramlási térben Av % konstans alakú Poisson-egyenletnek tesz eleget, t>=0 peremfeltétel mellett. (Vö. pl. [2], 179—182; [3], 95—98; [12], 660—663; [13], 62— —63.) A gyakorlatban a közelmúltig szokás volt az ún. hidraulikus átmérő felhasználásával megkísérelni a bonyolultabb keresztmetszeteken át történő áramlásoknak a körkeresztmetszet esetére való visszavezetését; a hetvenes években azonban kiderült, hogy ez az út a fellépő nyomáscsökkenés számításában lényeges hibákat okozhat (vö. [19]), úgyhogy ismét előtérbe kerültek a szóban forgó kutatásokban bizonyos közelítő analitikus módszerek (I. pl. [5], [20]). A szerző néhány éve megbízást kapott a Villamosipari Kutató intézettől egy fröccsöntéssel dolgozó új motorszigetelési technológia matematikai megalapozására. A kooperáció során tisztázódott, hogy a feladat megoldásához a Hagen— Poiseuille-törvény kiterjesztésére van szükség, s a kapott eredményekből közös publikációk jöttek létre (1. [14], [15]). Ebben a cikkben a talált új részben geometriai, részben analitikus — eljárást továbbfejlesztjük gyűrűszerű elliptikus keresztmetszet esetére, amely több szempontból kitü ntetettnek lek i nthető. * Budapesti Műszaki Egyetem, Budapest. 2. A sebességeloszlás vizsgálata Vizsgáljunk valamely l hosszúságú, hengerszerű csőben stacionáriusán v sebességgel áramló ún. newtoni folyadékot. Tegyük fel, hogy a cső keresztmetszetét két koncentrikus ellipszis határolja, melyeknek közös középpontja a cső tengelyére esik, s a belső ellipszis a külsőből 1 : e arányú zsugorítással keletkezik; jelöljük a külső ellipszis fél nagytengelyét a-val, fél kistengelyét pedig 6-vel. Ha még feltesszük, hogy az áramvonalak párhuzamosak a cső tengelyével, akkor a tengelytől r távolságra levő valamely folyadékréteg mentén Newton törvénye szerint olyan t nyírófeszültség hat, amelyre 17-val jelölve a folyadék dinamikus viszkozitását. Vegyünk fel a cső kezdeti keresztmetszetében egy £ (/-derékszögű koordinátarendszert úgy, hogy annak O origója a csőtengelyen legyen, s egészítsük ki ezt egy áramlás-irányú z-tengellyel térbeli Descartes-féle koordinátarendszerré. (1. ábra). Ha az alrendszer abszcisszatengelyét egyúttal egy síkbeli r <p-polárrendszer tengelyének, az utóbbinak kezdőpontját pedig O-val azonosnak választjuk, akkor a keresztmetszet külső ellipszisének egyenlete az említett polárrendszerben: r=ab(a*Bm 2(p+b*cos 2<p)11 2, (2.2) a belső ellipszisé pedig (0<e<l): r = e •ab(a 2sm 2q>+b 2con 2cp)1i 2. (2.3) Egyúttal megállapítható: ha az áramlási teret egy a z-tengelyen átmenő, valamely <p polárszögértékkel jellemzett síkkal metsszük, akkor — /í-rel jelölve a (2.2) jobb oldalán álló kifejezést — egy (1—e)JR szélességű és l hosszúságú téglalapot kapunk. (Vö. 1—2. ábra.) Az írásmód rövidítése érdekében állapodjunk meg abban, hogy a következőkben is mindenütt ]{ =K(<p) =abl]fa 2 sin 2 cp+b 2 cos 2 y (2.4) legyen, továbbá ti' e függvénynek rp szerinti deriváltját jelentse. A közvetlen célunk mármost, hogy előbb a r nyírófeszültséget, majd .a v sebességet a cső belsejében mindenütt r és q függvényeként állítsuk elő. Ennek érdekében mindenekelőtt fel kell írnunk az áramlás stacionárius voltának feltételét az áramlási térnek egy tetszőleges térfogatelemére; mégpedig azon további — általánosan használt —kikötés mellett, hogy a p nyomás a csőben egy-egy keresztmetszet mentén állandó, különben viszont z-nek lineárisan fogyó függvénye. Megjegyzendő
