Hidrológiai Közlöny 1981 (61. évfolyam)

11. szám - Dr. Hankó Zoltán: Hozzászólás „Dr. Vágás István: Az árhullám előrejelzés mércekapcsolati módszerei” c. tanulmányához

490 Hidrológiai Közlöny 1981. 11. sz. Dr. Hankó Z.: Hozzászólás sítve bizonyítható, hogy a (30/a, b) összefüggések azonosak a (7/a, b) egyenletekkel. A fentiekből a végső következtetés önként adódik: A centralizált változókat a saját varianciájuk négyzetgyökével normalizálva — a korrelációs tényező azonos a lehetséges maximális korrelációs tényezővel (3. ábra, s=l); — a szorosság mérő-száma (26/b és c) egyértelmű és lineáristól kismértékben eltérő, közel 1 : 1 arányú függvénye a korrelációs tényezőnek. Az eltérés a biztonság javára szolgál, mert a szorosság mérőszáma mindig kismértékben nagyobb szorosságot mutat, mint a korrelációs tényező, kivéve a két határhelyzetet, ahol azonos (4. ábra, 8=1). Tehát a korrelációs tényező gyakorlatilag — a biztonság javát szolgáló csekély elhanyagolással — egyértelmű mérőszáma a kapcsolat szorosságának. 3.2. A mérőszámok és a feltételes várható érték szórása Vizsgálatainkkal kacsolatban a szórást akkor értelmezhetjük, ha a változók közötti összefüggés valóban lineáris, vagy jó közelítéssel lineárisnak tekinthető, ha az adatok száma elég nagy, s azokat csak véletlen hiba terheli. Ez esetben és feltételezve, hogy a változók eloszlása megközelíti a Gauss-i normális eloszlást, akkor az adatok mintegy 68%-a a várható érték körüli plusz—mínusz szórás tartományba esik. Az adatok 95%-hoz már plusz-mínusz két-szórás tartományt kell figyelembe venni. Ezek előrebocsátása után, ugyancsak Gausstól származó, és a kiegyenlítő számításból is ismert módon (a levezetések mellőzésével) megállapíthatjuk, hogy a centralizált változók közötti kapcsolatot egyértelműen jellemző iránytangensek relatív szórás-négyzete: í Ogp

g Y ( Oaqp ^

2 _| Ct

g í l a

m ) { a

a

p ) 1 a j Minthogy r=][a

p

qa

q

v és s =—1 (n— l)r

2 (32a, b) A 3. ábrán — illusztrációképpen — eredményvonallal felrajzoltuk az r = 0,6 és r

Inax

l=0,6 koordinátákkal jelzett pont körül a szórási ellipszist (ami jelen esetben körré degradálódott) 31 észlelési adat feltételezésével. Hasonlóképpen ábrázoltuk a szórási ellipszist a 4. ábrán az r = 0,6és = = 0,685 koordinátákkal jellemzett pont körül. Mindkét esetben a szórási ellipszis jelentős átfedést mutat az s=l esetekkel, és (a 4. ábrán) a g

x = r közelítő összefüggéssel is. A hiba terjedésére vonatkozó üsszefüggések felhasználásával a feltételes várható érték szórása is számítható. Az Y

o

i=a

ll

x(X

i-X)+ Yés X

o

i =a

x

y( Yi-T)+X (35a, b) összefüggésekkel jellemzett feltételes várható érték szórása: X)

2 , i+

rí(i+

n) n(l — r

2) es (36a, b) OXOL „ V(T~ ~Oxo I l+r

2(l+») nDyy n(l — r

2) ahol a már megismert jeleken felül a kapcsolat átlagos szórása: i í nD

u 1 / n (1 —r

2) és o

X

QnD

x (1 — r

2 n — 1 ' ' ™ r n-1 (37a, b) A teljesség kedvéért meg kell említeni, hogy es (31) Oxo [(!toi -Vi)

2] / [(Toí-JÍ)

2] n -1 71—1 f [(«0i 1 1 / [{X^-X,)

2 (38a) n— 1 ezek szói'ásnégyzete is levezethető a hibaterjedésre vonatkozó összefüggés felhasználásával. A végeredmény : s ) \ a Ezek ismeretében a maximális korrelációs tényező (fmai) és a kapcsolat szorosságának mérőszáma (o) szórása is meghatározható. A részletek mellőzésével: 8(1 — r

2)s

2[(l — 2r

2)(s— l)

2+2r

4(^

2+l)] °

r ma

x (w~l)r

2(s+lp[(s-l)

2+4r

2s] (34a) ami s =1 esetén of m

ax i =o j értékre redukálódik. A kapcsolat szorossága mérőszámának szórása: , 4(l-r

2)

s[(s

2+l) + 4r

2

s+r

4(*

2+l)] o

0= , (34b) n\n~ l)[s+r

2(s

2+l)+r

4s] (

4 a, I értékre redukálódik. 4 továbbá a „független változó" átlagos szórása: •4 (38b) nD

x ox, , illetve on = nD„ n— 1 ' """ ' n—l valamint a változók középértékének szórása: ~D

X

X ... . - 1/ D, (39a, b) <Jx = n1 , illetve oy f n1 (40a, b) Fentiek egyértelműen tanúsítják, hogy a feltételes várható érték (Y

o

i illetőleg X

0i) szórása csak arányos a kapcsolat átlagos szórásával (de nem egyenlő vele), s legkisebb értékét akkor veszi fel, ha a „független változó" éppen megegyezik az adatok középértékével, és minden egyéb esetben ennél nagyobb. A feltételes várható érték megbízhatóságát tehát nem lehet jellemezni a kapcsolat átlagos szórásértékével, hanem minden esetbe meg kell határozni a saját szórását is. Ennek ismeretében azután a különböző kockázatú tartomány is becsülhető (pl. 5% kockázathoz kb. 2a tartozik).