Hidrológiai Közlöny 1981 (61. évfolyam)

7. szám - Dr. Reimann József: Hidrológiai változók közötti kapcsolatok vizsgálatáról

Dr. Reimann J.: Hidrológiai változók Hidrológiai Közlöny 1981. 7. sz. 297 =E(F

2 cos

2 tp — 2XY sin cp cos <p+X

2 sin 2 cp — 2cY cos q>-\-2cX sin <p+c

2) azaz f(v, e) = =E(F

2) cos

2 f-E(Z7) sin 2<p+E(X

2) sin

2 y-2E(F)c cos cp+2E(X)c sin <p+c

2 A parciális deriváltakat zérussal egyenlővé téve: df t)c 2E( Y) cos cp+ 2E(X) sin y+2c=0 azaz E(F) cos cp-E(X) sin tp=c (4.2) Tehát az L egyenes átmegy az [E(Z)=m

1, E(F) =m

2] ponton, vagyis (4.2) alapján L : (Y — m

2) cos (p — (X — m^) sin <p= 0 A megoldandó minimum feladat tehát: f(q>) =E(cí

2) =E[(F —m

2) cos <p-(X-m

x) sin <p]

2 = =min. Egyszerűen belátható, hogy: f((p) sin

2 (p — 2gff

1a

2sin <p cos <p-\- a\ cos

2 <p Tehát: sin 2cp — 2()0

l0.

1 cos 2<p — 2o

2 sin 2<p=0 esetén a

2-a

2 Ebből tg cp meghatározható és így az L egyenes egyenlete: 2QO

XO

2 y-m.,(x — »(j) (4.3) Ha most JC exponenciális eloszlású F(x) =1 — e eloszlásfüggvénnyel és Y ugyancsak exponenciális eloszlású (*(?/) =1 — e eloszlásfüggvénnyel, továbbá a két valószínűségi változó között Y —cp(X) monoton függvénykapcsolat van, akkor ez a (3.1) formula alapján csak lineáris kapcsolat lehet, tehát a (4.3) formulában g=l, továbbá 1 1 a p vagyis ez esetben a (4.3) formula a következőmódon alakul: 1 2 "oT T y—« = — a

2 B

2 ' l.a

2 Ő

2J 1 1 r aj-ő * B azaz ami éppen a kvantilis görbével egyezik meg. Tehát exponenciális eloszlású valószínűségi változók közötti ortogonális regressziós egyenest nem kell számítanunk, hiszen a várható értékek ismeretében a kvantilis görbe egyenlete közvetlenül felírható, illetve a mintából az empirikus kvantilis-görbe egyszerűen meghatározható. összefoglalás Ebben a dolgozatban valószínűségi változók közötti sztochasztikus kapcsolat vizsgálatára egy újabb mérőszámot az ún. indikátor korrelációt vezetjük be. Ha jelöli az (X<x) indikátor változóját, r],, peeig az (Y<y) esemény indikátor változóját, akkor a o( r]

y) indikátor korreláció jobb tulajdonságokkal bír, mint a szokásos p(JÍ, Y) korrelációs együttható. Kimutatjuk, hogy ha az X és F valószínűségi változók között Y=cp(X) monoton növekvő függvénykapcsolat van és X eloszlásfüggvénye F(a;), Y eloszlásfüggvénye (»(?/) és az eloszlásfüggvények szigorúan növekvő folytonos függvények, akkor (p(x) = = <»1[F(a;)] az ún. kvantilis görbe. Ha j =P( F <.y )= a, akkor, monoton függvénykapcsolat esetén: y,[ =<P(*J Az indikátor korreláció értéke az (x• , yj pontban: ~ H(ar

a , ) - a

2 Q« = ^^ Ha X és F exponenciális eloszlásúak és F(a:) I f ;0(Í/)= l—e és Y =cp(X) monoton növekvő, akkor ^)=ft-i[ F(x)]=jx, amely egyenes megegyezik az X ás Y valószínűségi változók közötti ortogonális regresszió egyenessel. IRODALOM fi] N. Blomqvist: On a mearure of dependenoe between two random variables Arin. Math. Statist. Vol 21. (1950). [2] E. L. Lehmann: Somo concept of dependonce. The Annals of Math. Statist. Vol. 37. (1966). [3] lteimann, J.: Árvizek jellemző adatainak matematikai statisztikai elemzése. Hidrológiai Közlöny, 1975. 4. [4] A. Hényi: On Measures of dependenee Acta Mathematica X/3—4. (1960). [5] A. Wald: The fitting of straight lines if botli variables are subject to error. Ann. Math. Statist. Volt 11. (1940). 0Ö UCCJlCAOBíUlnH B3aHM0CliH3eÜ IVie)KAy THAPOJIOI HqecHMH nepeMeHHbiivui JJp. PeÜMaHH, Í1. XIJIJI nccJieAOBaiin>i CTOxacTHHeCKHX CB5i3eii Mew«y BepOJITHOCTHblMlI nCpCMCHHMMH 3BT()p CT3TbH BBOflHT [JOHJITHe 0 HOBOÍÍ Mepe TeCHOThl CB5I3H — HHAHKaTOpa KoppeJiauHH. llycTb la: 03naMaer iiH/un<aTopHyio uepcMcmiyio coÖblTHJl (X -<x), rj

u 03HawaeT HHAiiKaTopnyio nepeMennyio coőbiTHH (y <y).