Hidrológiai Közlöny 1981 (61. évfolyam)
7. szám - Dr. Reimann József: Hidrológiai változók közötti kapcsolatok vizsgálatáról
292 Hidrológiai Közlöny 1981. 7. sz. Dr. Reimann J.: Hidrológiai változók zük, hogy a kvantilisek ismerete igen sok információt ad az eloszlást illetőleg.) Bevezetünk most egy fontos fogalmat, amelyre a továbbiak során gyakran fogunk támaszkodni. Tekintsük az (x^,yj kvantilis pontpárok által meghatározott ponthalmazt, miközben a befutja a [0, 1] intervallumot. Nevezzük ezt a ponthalmazt kvantilis-görbének. A kvantilis-görbe közelítő képét a gyakorlatban a következő módon nyerhetjük. Tételezzük fel, hogy az X és Y valószínűségi változók összetartó értékeire vonatkozólag egy (X 1 ( Fj), (X 2, F 2), . . ., (X n, Y n) kétdimenziós mintával rendelkezünk, amelyet egy pontfelhő alakjában ábrázolhatunk (3. ábra). csolat van, akkor a függvény görbéje a kvantilis görbével egyezik meg. Ezen állítás bizonyítása rendkívül egyszerű, ugyanis: a =P( Y =P[<p(x) <£)] =P[(X )(y x)] mivel P(2L cr J —<X, következőleg kikötéseink mellett: tehát: y*=<p(*J ^ (i-io) Az (1.10) összefüggés két valószínűségi változó közötti kapcsolati függvény meghatározása szempontjából igen fontos szerepet játszik. Számítsuk ki a Q(X, y) indikátor-korreláció értékét a kvantilisgörbe pontjaiban; H(a£ , y,, )-F(x a)G(£ ) a, =e, («. y a) = 3. ábra. Az (x a i, J/oc i) azonos kvantilis értékeket összekötő empirikus kvantilis-görbe Puc. 3. Bud 3MnupmecK0Ü iceaiimuAbnoü Kpuaoií, coeduníimuieü 3ua'ienun coomeemceyiou)ux Kaaiimiueü «(x' í t y H) Fig. 3. Empirical quantile curve connecting the idertical quantile values (x a i, ya t) Az x , y elméleti kvantilis értékeket a mintából a 1 7 a az empirikus kvantilisekkel közelítjük s az azonos a É-értékhez tartozó (x^ , t/ a ) síkbeli pontokat felmérjük, majd ezeket összekötjük (0<a 1<a 2-<. . . ... <oa-<l). (Az így nyert görbe a kvantilis görbének csak statisztikai közelítése, a gyakorlati elemzésben azonban általában erre támaszkodunk és gyakorlati célokra rendszerint kielégítő.) Egyenlőre tételezzük fel, hogy az X és Y változók F(x) ill. G(y) eloszlását ismerjük, s így az x^, y , kvantilisek is ismertek. Ezen esetben az F(x) és fí(y) eloszlásfüggvények segítségével a kvantilis görbe egyenlete egyszerűen felírható, ugyanis: F(ÍJ=G(ÍO= a, tehát í a=G-i(a)=G-i[F(x)] tehát a kvantilis görbe egyenlete: (1.9) Rámutatunk most a kvantilis görbe egy igen fontos tulajdonságára. Amikor az X és Y valószínűségi változók között monoton, szigorúan növekvő, folytonos függvénykapcsolat van: Y = =cp(X), továbbá X és Y eloszlásfüggvényei F(x) ill. G(y) szigorúan monoton növekvő, folytonos eloszlásfüggvények, akkori/ —<p(x ). Amikor tehát az említett kikötések mellett, a két valószínűségi változó között monoton növekvő függvénykapF(xJ[l-F(s )]«(£)[ 1-G(£)] a— a 2 Megjegyezzük, hogy a kvantilis-görbe fenti konstrukciója pozitív asszociáció esetén használható. Negatív asszociáció esetén az^, y l_J kvantilis értékeket kötjük össze, tehát ekkor: e.=e(*..yí_«)= V F(*.)[l-F(a;.)]6(y 1_.)[l-0(y 1_.)] H(ᣠ, y a) — a(l — «) a— Í' Ahhoz, hogy a g -indikátor-korreláció gyakorlati hasznát meg tudjuk ítélni, meg kell vizsgálnunk annak néhány tulajdonságát: A) könnyen belátható, hogy — 1 Q =S 1, mivel egy speciális korrelációs együttható. Tehát I £ 11 1' b) p a=0, akkor, és csak akkor ha H(x_ ( = =F(xJG(?/J =a 2, tehát ez esetben X és Y függetlenek a kvantilis görbe mentén. Ez a tulajdonság a Q a indikátor korrelációnak előnyös tulajdonsága a korrelációs együtthatóval szemben; c) amikor X és Y között tetszőleges monoton függvénykapcsolat van, akkor | oj =1. Ennek belátására legyen Y=cp(X) s ekkor az (1.10) összefüggés felhasználásával: =P(X < ar, V(X) <=cp(xj =P(X =F(xJ =« Az állítás megfordítása is igaz, mivel értéke csak akkor 1, ha H^, yj= a; d) az indikátor-korreláció invariáns a valószínűségi változók azonos értelemben monoton
