Hidrológiai Közlöny 1981 (61. évfolyam)

7. szám - Dr. Reimann József: Hidrológiai változók közötti kapcsolatok vizsgálatáról

Dr. Reimann J.: Hidrológiai változók Hidrológiai Közlöny 1981. 7. sz. 291 csak felmerül az, hogy hogyan mérhető, hogy mennyire szoros ez a függőség. A gyakorlati elemzésben az (X

v F

t), (X

2, F.,), . . ., (X

n, Y

n) kétdimenziós mintából indulunk ki. Ábrázoljuk a mintát mint síkbeli ponthalmazt, majd keressük meg mind az X, mind az Y változó eloszlásának mediánját (M

1 és M.,), azaz készítsük el a 2. ábrát. 0 _ .. • C- . •'.'•"' s M, " 2. ábra. Az (X„ XJ, (X

2, X

2),. . . ,(X

n,X

n) kétdimenziós minta értéktartományának felosztása négy mezőre az M

l és M

2 mediánok segítségével Puc. 2. JJeAenue noAa 3naieHuü deyMepnoü euöopKu (

xu yj, (

x-2> y-z)- • -(x

n, yn)na lemrnpe mcmunpu noMoiifu Meduan M, u M„ Fig. 2. Division into four fields of the value rangé of the two-dimensional sample (X

i, X

f

/), (X.,, X

2

/)... (X

n, X,

() by the medians M

1 and M, Pozitív kvadránsfüggőség esetén az A és C kvadránsokban nyilván több pontot találunk mint a B és D kvadránsokban. ^Függetlenség esetén nagyjából egyforma számú pont esik mindegyik kvadránsba, mivel P(X <ü/j) =P(F <M

2) =i , így Li l'(A) —V(B) =P(C) =P(/)) ha M

x és M, elméleti mediánok]. / A pozitív asszociáció szorosságának mérésére képezzük a következő mérőszámot: 6(M

V M

2)=V(A+C)-V{B+D) = =Y(A+C) - [1 - P(A +C)] =2P(^á 4-C) -1 Mivel F(A) + V(B)=\ (M

2 definíciója alapján), A továbbá: P(/?) + P(C)=- (M, definíciója alapján), ezért V(A) =P(C) azaz: b(M

í,MJ=42(A)-\ (1.6) Az (Mj, M.,) mérőszám gyakorlati közelítő meghatározása igen egyszerű az M\ és Mem])irikus mediánok megállapítása után. Mindössze az A halmazba eső pontokat kell megszámlálnunk. Amikor ez a szám k, akkor b(Mj, M.,) statisztikai közelítése Ö(M

V M„) =4 1 n (1.7) Az (1.6) összefüggéssel definiált b(M

1, M.,) mérőszámot először Mosteller alkalmazta és statisztikai tulajdonságait pedig Rlomqvist |lj vizsgálta. A b(M

v M

2) mérőszám nem a kvadránsfüggőséget méri általában, hanem annak csak egy speciális esetét, a medián-függőséget. Gyakorlati célokra, a függőségi viszonyok gyors áttekintésére rendszerint ez is elegendő, mivel nem tudjuk a kvadráns-függőséget ellenőrizni a sík minden egyes (x, y) pontjában. Mégis megnyugtatóbb, ha a függőséget nem egyetlen pontban, hanem több pontban ellenőrizzük. Ezért a továbbiakban általánosítjuk az (1.6) összefüggéssel megadott mérőszámot és látni fogjuk, hogy az általunk származtatott mérőszám könnyen kiszámítható egy alkalmasan választott síkgörbe pontjaiban. • 1. Valószínűségi változók közötti kapcsolat szorosságának egy újabb mérőszáma Két valószínűségi változó (X és F) közötti sztochasztikus függőség mérésére bevezetjük az ún. indikátor korrelációt a következő módon. Legyen az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F(x), az F valószínűségi változó eloszlásfüggvénye G(i/). Mindkét eloszlásfüggvényről feltesszük, hogy szigorúan monoton növekvő folytonos függvények. Az X és F változók együttes eloszlásfüggvényét jelöljük H(x, i/)-nal. Rögzített (x, y) értékpár esetére bevezetjük a Is és rj

v indikátor változókat a következő módon: t (1 ha J <x x \0 egyébként, íl ha F<í/ n" 10 egyébként Számítsuk ki cl és r]

u indikátor-változók korrelációs együtthatóját: E(Í

xr,

y)-¥4Í

x)l)(r,

y) Q(£x, H]V) —• D(Í>)D(rjv

) H(x, y)-F(«)G(y) VF(«)[l-F(x)]G(y)|;i-0(y)] =<?(*> y) A q($z, V//) korrelációs együtthatót az X és F valószínűségi változók indikátor-korrelációjának nevezzük az (x, y) értékpárra vonatkozólag. Mivel o(x, y) értéke minden (x, y) síkbeli pontban más és más lehet, így az X és Y változók közötti kapcsolat szorosságának mérésére közvetlenül nem alkalmazható. Látni fogjuk azonban, hogy ha Q(X, y) értékét egy alkalmasan választott síkbeli görbe mentén, sőt annak is csak néhány pontjában számítjuk, akkor a két változó közötti kapcsolatot illetőleg igen informatív mérőszámot nyerünk. Jelöljük x

a-val az X valószínűségi változó eloszlásának a-kvantilisét, legyen x

r

j tehát az a szám amelyre: P(X<xJ=F(x )=« Legyen továbbá y^ az F valószínűségi változó eloszlásának a-kvantilise, tehát az a szám amelyre: P( F<

?X )=«(£>=<* Speciálisan x

1/

4 az X eloszlásának alsó kvantilise, x

1i

2 a médián, x

3

U a felső kvantilis. (Megjegyez-