Hidrológiai Közlöny 1981 (61. évfolyam)
7. szám - Dr. Reimann József: Hidrológiai változók közötti kapcsolatok vizsgálatáról
290 Hidrológiai Közlöny 1981. 7. sz. Dr. Reimann J.: Hidrológiai változók nevezzük őket. A gyakorlatban sokszor fordul elő olyan eset, amikor X és F között nincs szigorú függvénykapcsolat, de nem is függetlenek, hanem közöttük bizonyos közös tendencia mutatkozik; pl. X nagyobb értékével Y nagyobb értéke jár együtt, vagy X nagyobb értékeihez Y kisebb értékei társulnak. Ilyenkor azt mondjuk, hogy X és Y között sztochasztikus kapcsolat (tágabb értelemben vett korreláció) mutatkozik. Az X és Y valószínűségi változók közötti sztochasztikus kapcsolat szorosságának valamely mérőszáma legyen ö{X, Y). A kérdéskör elméleti és gyakorlati jelentősége indokolttá teszi annak vizsgálatát, hogy milyen tulajdonságokkal kell rendelkeznie Ö(X, F)-nak ahhoz, hogy jó mérőszámnak tekintsük. Rényi Alfréd [4] felállított bizonyos posztulátumokat, amelyeket egy jó mérőszámnak teljesítenie kell. E posztulátumok lényegében azt követelik meg, hogy: a mérőszám értelmezve legyen minden olya^n (X, Y) valószínűségi változópárra amelyek egyike sem állandó; szimmetrikus legyen, azaz ö(X, Y)= ő(F, X) teljesüljön; ö(X,Y) abszolút értéke 0 és 1 között változzék; ö(X, Y) = 0 akkor és csak akkor teljesüljön, ha X és Y függetlenek; Ő(X, F) = 1 akkor és csak akkor teljesüljön, ha X és F között monoton függvénykapcsolat van. (A szokásos korrelációs együttható ez utóbbi két követelményt nem teljesíti). További követelményként Rényi azt tekintette, hogy d(X, Y) invariáns legyen a változók monoton transzformációjával szemben, azaz ö[f(X), g( F)] = = ó(X, Y) legyen, ha f(X) és g(Y) monoton függvények (amelyekről Borel-mérhetőséget teszünk fel), valamint ha X és F együttes eloszlása kétdimenziós normális eloszlás, akkor ö(X, F) = = q(X, Y) legyen, ahol o korrelációs együttható [4]. Felmerül a kérdés, hogy egyáltalán létezik-e olyan ö(X, Y) mérőszáma a kapcsolat szorosságának, amely a fenti posztulátumok mindegyikét teljesíti. A [4] dolgozatban található két ilyen mérőszám, amelyek gyakorlati kiszámítása csak ritkán és nehézkesen vihető keresztül. A későbbiekben származtatunk egy olyan mérőszámot a sztochasztikus kapcsolatra, amely könnyen kiszámítható minden olyan I és 7 valószínűségi változóra, amelyek folytonos és szigorúan monoton F(x), ill. G(y) eloszlásfüggvénnyel rendelkeznek, s amely mérőszám a fent említett posztulátumokat teljesíti, azzal a módosítással, hogy ha X és F együttes eloszlása kétdimenziós normális (Gauss) eloszlás, akkor d(X, Y) monoton függvénye a szokásos korrelációs együtthatónak. A sztochasztikus kapcsolatok vizsgálatában (általánosabban vett korrelációelméletben) véleményünk szerint bizonyos irányokban új utat nyitott E. L. Lehmann [2], aki bevezette az X és F valószínűségi változók közötti ún. kvadránsfüggőség fogalmát a következő módon: Az X és F valószínűségi változók között pozitív kvadráns-függőség van, ha: P(X<x,F<y)>P(Z<a;)-P(F<i/) minden x, y értékpárra. (1.1) (Szigorú kvadráns-függőségről beszélünk, ha legalább egy (x, y) síkbeli pontra > helyett a =» jel érvényes.) Vizsgáljuk meg kissé közelebbről mit jelent a pozitív kvadráns függőség! Az (1.1) összefüggés alapján: V[ XY(xIx) V ) (1.2) Ez azt jelenti, hogy (Y<y) feltételes valószínűsége, azon feltétel mellett, hogy (X<x) nagyobb mint az (F-=Í/) esemény feltétel nélküli valószínűsége. Amikor x értékét kicsire választjuk, akkor F értéke nagyobb valószínűséggel kicsi, mint az (X <x) feltétel nélkül. Másként szólva, pozitív kvadráns-függőség esetén X kicsi értékeihez F-nak nagyobb valószínűséggel társulnak kicsi értékei, mint ha függetlenek lennének. Az (1.1) összefüggésből egyszerűen következnek az alábbi relációk: P(X<x, F>Í/)<P(X<X)P(F>Í/) P(X>x, Y>y)^V(X^x)V{Y>y) Amennyiben az X és F valószínűségi változók összetartozó értékeire vonatkozólag (JCj, Fj), (X 2, F 2),. . .,(X„,Y n) statisztikai mintával rendelkezünk és ezt egy síkbeli ponthalmaz formájában ábrázoljuk, akkor pozitív kvadráns-függőség esetén az 1. ábrán levő pontelhelyezést nyerjük: 1. ábra. Pozitív kvadránsfüggőség esetében a pontfelhő elhelyezkedésének tipikus alakja Puc. 1. TurtuiHbiü eud oöAaKa moien: npu noAoxcumeAbHoü Keadpanmuoií 3aeucuM0cmu Fig. 1. Typical shape of the point pattern in the case of positive quadrant dependence Jelöljük az X és F valószínűségi változók együttes eloszlásfüggvényét H(x, f/)-nal, X eloszlásfüggvényét F(x)-szel, F eloszlásfüggvényét 0(y)nal. Ekkor (1.1) alapján a pozitív kvadráns-függőségét az eloszlásfüggvények közötti alábbi összefüggés fejezi ki: H(«,y)feF(«)6(y) (1.4) Hasonlóan értelmezhető a negatív kvadránsfüggőség a H(x, y)^F(x)G(y) (1.5) relációval. A pozitív kvadráns-függőség tehát közös monoton növekvő tendenciát, a negatív kvadránsfüggőség viszont X növekedésekor F-ban monoton csökkenő tendenciát fejez ki. Az első esetben pozitív asszociációról, a második esetben negatív asszociációról szokás beszélni. Amikor tudjuk, hogy két valószínűségi változó, X és F között pozitív (vagy negatív) kvadránsfüggőség van, akkor már bizonyos információnk van a két változó közötti kapcsolatot illetőleg. A gyakorlatban felmerül a kérdés, hogy X és F között van-e pozitív kvadráns-függőség? Ugyan-
