Hidrológiai Közlöny 1980 (60. évfolyam)
1. szám - Dr. Prékopa András–dr. Szántai Tamás: Többlépcsős sztochasztikus programozási modell tározórendszer irányítására
8 Hidrológiai Közlöny 1980. 1. sz. "Dr. Prékopa A.—Dr. Szántai T.: Többlépcsős sztochasztikus döntés x 1 értékére, megfigyelés f x értékére, döntés megfigyelés értékére, B r értékére. Az egyes x v ..., x r értékek felőli döntés elvének megfogalmazásakor jelentős szerepet juttatunk valószínűségi változóink együttes eloszlásának. Mielőtt megfogalmaznánk az (1.1) és az (1.2) alapfeladatokhoz kapcsolódó sztochasztikus programozási modelljeinket, a következő elveket szögezzük le a sztochasztikus és dinamikus rendszerek irányításával kapcsolatos matematikai modellkonstrukciót illetően: Nem egyszeri, hanem többszöri döntésre van szükség; a döntések időben egymás utáni sorozatot alkossanak oly módon, hogy. minden egyes, bizonyos valószínűségi változókra vonatkozó megfigyelést kövessen egy döntés. Minden döntés alkalmával használjuk fel a rendszer odáig terjedő múltjának információit. Ez lényegében azt jelenti, hogy a döntési elv megfogalmazásakor feltételes valószínűségeloszlással kell dolgoznunk. Minden döntés alkalmával vegyük figyelembe a jövőben realizálódó valószínűségi változók (az előbbiek szerint feltételes) eloszlását. Döntéseinket valószínűségi változóink együttes és nemcsak külön-külön vett eloszlására alapozzuk. 2. Többlépcsős sztochasztikus programozási modellek Ebben a szakaszban az (1.1) és az (1.2) determinisztikus alapfeladatokból kiindulva, dinamikus döntési elveket fogalmazunk meg a sztochasztikus rendszer irányítására vonatkozólag. E modelleket 7— az irányításelmélet terminológiáját elfogadva — „nyílt hurkú" modelleknek nevezhetjük, minthogy a döntési elv a rendszer jövőbeli változásait csak részlegesen csatolja vissza, veszi figyelembe. Nincs elvi akadálya a „zárt hurkú" modelltípus megfogalmazásának, ám a mai számítástechnika nem tart még ott, hogy ilyen bonyolult feladatok megoldására képes legyen. A sztochasztikus irányításelmélet zárt hurkú modelljeiben független valószínűségi változókat tételeznek fel (a feladat szerkezete is többnyire egyszerű), ez pedig végső soron csak egyszeri, tehát statikus döntést igényel; nem beszélve arról, hogy a vízügyi feladatokban ritka eset, hogy az idősor valószínűségi változóit függetleneknek tételezhetjük fel. Előbb az (1.1) feladatból indulunk ki. Egy feladatsorozatot fogalmazunk meg, mindegyikben a még nem realizálódott valószínűségi változókat tartalmazó feltételek teljesülésének valószínűségét maximalizáljuk a valószínűségi változót nem tartalmazó feltételek mellett. Első feladatunk a következő : (2.1) maximalizálandó P{gi(x v ...,x i t ..|»)s0, i = 1, ..., r), feltéve, hogy h 1(x 1 £ r) = 0, ahol a hy függvény ugyanaz, mint a h függvény az (1.1) feladatban. Egy optimális megoldást találva, ebből csupán Xj-et fogadjuk el véglegesnek. A bonyolult jelölés elkerülése érdekében ezt továbbra is Zj-gyel jelöljük, ám szem előtt kell tartanunk, hogy ez többé nem változó, hanem rögzített szám, vagy vektor. A második feladat a következő: t: (2.2) maximalizálandó P(gi(x v ..., Xi |j , i= 2, feltéve, hogy h 2(x v ..., av) = 0. Az optimális megoldásból csak x 2 végleges s. i. t. Az utolsó feladat a következő: (2.3) maximalizálandó P(g r(x v . . . , X R, . . . , ÍR) . . ., feltéve, hogy h r(x v ..., Ebben már csupán x r a változó. Ennek meghatározása után ezt is elfogadjuk véglegesnek és ezzel a feladatmegoldás befejeződik. Tekintsük most az (1.2) determinisztikus alapfeladatot. Most is egy fel adatsorozatot fogunk megfogalmazni. A g t vektor komponenseire bevezetjük a ga jelölést és értelmezzük a fia valószínűségi változókat az alábbi módon (2.4) P-ij — — l» • • • ) ®il Sl> • • • > fi)I ha gij(x v ..., xu i v . .., |j) sO, 0, egyébként, j = l, ..., TOj; i= 1, ..., r, ahol mi a gi vektor komponenseinek a számát jelenti. A /x^-valószínűségi változó az i-edik feltétel nem teljesülésének nagyságát jelenti. Tegyük fel, hogy a feltétel nem teljesülése költséget jelent, mely (egyszerűség kedvéért legyen) arányos fijjvel. Jelölje az arányossági tényezőt. Ezek után az első feladat a következő: (2.5) maximalizálandó r mi i=1 3=1 feltéve, hogy P(gi(x v ..., XÍ £ v ..., fi)=s0, i=l, . . ., r)sp, \{x v .. ., av) £ 0, ahol hy ugyanaz a függvény, mint h az (1.2) feladatban. Az optimális megoldásból x ret véglegesnek fogadva el, megfogalmazzuk a második feladatot a következő módon: (2.6) maximalizálandó r m l i=2j=l
