Hidrológiai Közlöny 1980 (60. évfolyam)

1. szám - Dr. Prékopa András–dr. Szántai Tamás: Többlépcsős sztochasztikus programozási modell tározórendszer irányítására

Dr. Prékopa A.—Dr. Szántai T.: Többlépcsős sztochasztikus Hidrológiai Közlöny 1980. 1. sz. 9 feltéve, hogy P(gi(x

v ..., x

i

t £

x, . .., i = 2, . . ., h

2(x

v ...,x

r)S;0. Az optimális megoldásból csupán x

2 végleges s. i. t. Az utolsó feladat a következő: (2.7) maximalizálandó m

r [f(*)~ 2 mqriMHl Ir-i)l, 3 = 1 feltéve, hogy P(ffr(xi> • • •> X

r, £i> • • •> = A,(®i> ..., av)&0. Bizonyos feladatokban előfordul, hogy vannak olyan további valószínűségi változók, melyek tartalmaznak ugyan információt számunkra, de nem szerepelnek eredeti feltételeink között. Pl. tározó modellek esetében az eredeti feltételek között a vízhozamot jelentő valószínűségi változók és a vízfelhasználást jelentő X{ döntési változók közötti relációkat rögzítjük, de tudjuk, hogy a feltételek közé be nem vett, csapadékot jelentő valószínűségi változók további információt nyújtanak. Ilyen esetben a modellek oly átalakítását javasoljuk, hogy ahol feltételes valószínűség, vagy várható érték van, ott a vonás mögött ezeket a további információt szolgáltató és már realizálódott valószínűségi változókat is fel kell sorolni. 3. Egy új többdimenziós gamma eloszlás Vízhozamadatok gyakran közelíthetők gamma eloszlással. Látni fogjuk, hogy ez áll a Tisza vízhozam — idősorára is. Minthogy azonban általában korrelált valószínűségi változókból alkotott idősoraink vannak, szükségessé válik a többdimenziós gamma eloszlás alkalmazása. A szakirodalomban ismeretesek többdimenziós gamma eloszlások, de ezek nem olyanok, hogy illeszthetők volnának a peremeloszlások adatain kívül előírt korrelációkhoz. Mi konstruáltunk ilyet, a nemnegatív korrelációk esetére és ezt a [3] dolgozatban publikáltuk. Itt csupán röviden vázoljuk az ezzel kapcsolatos legfontosabb tényeket. Egy | valószínűségi változót gamma eloszlásúnak neveztünk, ha folytonos eloszlású és sűrűségfüggvénye a következő alakú: h

i

>x

i~

1e , hax>0 m és egyenlő zéróval, ha x^ 0; a és {) pozitív állandók. Az eloszlás várható értéke —^szórásnégyzete pedig é -rj • Ha X = 1, akkor az eloszlásnak standard gamma / i eloszlás a neve. Könnyű belátni, hogy A| eloszlása standard gamma eloszlás. Tegyük fel, hogy |

x, ..., |

r gamma eloszlásúak. Az empirikus adatokból nyert X

v 0

V . . ., X

r, 0

r paramétereiket elfogadva, tekintsük a ..., A

r|

r standard gamma eloszlású valószínűségi változókat. Jelölje C ezek kovariancia mátrixát. Konstruálni akarunk olyan rj

v ..r]

n független, standard gamma eloszlású valószínűségi változókat, melyek alkalmas részletösszegei rendre ugyanolyan eloszlásúak, mint . . ., X

r£

r és kovariancia mátrixuk megegyezik a G mátrixszal. Az Vv • • • > Vn valószínűségi változók konstrukciója é

x, ...,•&„ paramétereiknek a meghatározását jelenti. Ha e keresett részletösszegeket £

v ..., 'Q

r jelölik, akkor az ezekből alkotott £ valószínűségi vektorváltozó és az r)

v . .., r\

n komponensekből alkotott r] valószínűségi vektorváltozó között a £=Ar] kapcsolat áll fenn, ahol A egy 0 és 1 elemekből alkotott mátrix. Az szükségtelen, hogy A -nak azonos oszlop-párja legyen, mert ha pl. A -ban az i-edik és a j-edik (i^j) oszlop egyenlő egymással, akkor r\i vagy r\j kihagyható az előállításból, paramétere zérónak választható. (Azt az elfajult valószzínűségeloszlást, amelyben a 0 pontnak 1 a valószínűsége, szintén standard gamma eloszlásnak tekintjük; azt mondjuk, hogy ez a # =0 paraméterértékhez tartozó standard gamma eloszlás.) Ha még azt is feltesszük (ami nyilván nem jelent megszorítást), hogy A egyik oszlopa sem zéró vektor, akkor azonnal adódik, hogy A-nak legfeljebb 2

r—1 számú oszlopa lehet. Célszerű is lesz megengedni A számára mindezeket az oszlopokat. A mátrix mérete tehát rx(2

r — 1). Tekintsük az r= 3 esetet. Ekkor í

2, C

3 a következőképpen fejezhető ki: (3.1) +Vi+Vs C

2= Vi +í?

6+*?7> C

3= ' Va +Vs+V6+Vr Keresendők az . . ., r;

7 valószínűségi változók ..., $

7 paraméterei oly módon, hogy fent említett feltételeink teljesüljenek. Ehhez a következőket kell előre bocsátanunk: a) független valószínűségi változók részletösszegeinek a kovarianciája egyenlő a közös tagok szórásnégyzeteinek az összegével; b) független standard gamma eloszlású valószínűségi változók összegének eloszlása is standard gamma eloszlás, melynek paramétere az összeadandó valószínűségi változók paramétereinek az összege; c) a standard gamma eloszlás várható értéke és szórásnégyzete egyenlő egymással és ez nem más mint az eloszlás paramétere. Ezek után a •&

v ..., #

7 paramétereinkre vonatkozó követelmények a következők: (3.2) ^ • +#

7 = c

n, +^5 + ^8 + ^7 = C

3

3, #

5 -f-#

7 = C

1

3, 23> K K K K K 07^0. Arra vonatkozólag, hogy £

2, £

3 várható érté-