Hidrológiai Közlöny 1980 (60. évfolyam)

10. szám - Mészáros Z.: Résfal körüli talajvíz-áramlási viszonyok vizsgálata

430 Hidrológiai Közlöny 1980. 10. sz. Mészáros Z.: Résfal körüli áramlás y © -2a 0 * Ua /t 3. ábra Résfal t -2a K 14 2

0 ^ K 14 / / / i

/ / / / "^L babra (1) analitikus függvényt. Minden komplex szám felírható exponenciális alakban, így a C síkon levő ,a sugarú kör egyenlete Z=a-e

ü (2) Az összefüggésben szereplő betűk jelentését a 3. ábra tartalmazza. Ezután vizsgáljuk meg, hogy a C síkon levő (2)-összefüggéssel leírt kört az (1) analitikus függvény a z sík milyen alakzatává képezi le, ezért (2)-t helyettesítve (l)-be átalakítások után z = x-\-iy = a-e'

E-\-ae~

u — a(cos e-fi sin e)-f-a(cos e— —i sin s) = 2a cos e összefüggést kapjuk. Ez egy ,a' sugarú kör vetülete a valós (x) tengelyre, így x = 2a cos e y— 0 adódik. Ebből látszik, hogy (1) analitikus függvény a £ sík ,a' sugarú körét a z sík ,4a' hosszúságú szakaszává képezi le. A konform leképzésnek az eredményét, azaz a 2. ábrán levő síkban fekvő ,4a' hosszúságú szakasz a £ sík körévé való leképzését a 3. ábra szemlélteti. Az előbbi leképzés konformis, melynek két tulajdonsága, hogy szög (irány) és aránytartó. Ha a leképző függvényt vizsgáljuk, láthatjuk, hogy a végtelen távoli pontnak a végtelen távoli pont, az origó pontnak az origó pont felel meg a két kópsíkon. A leképzés tehát azt a lehetőséget kínálja, hogy a ,4a' hosszúságú szádfal körüli áramteret a kör körüli szivárgási tér meghatározása után inverz transzformációval határozzuk meg. A leképezés konform tulajdonsága miatt a 0-szög azonos mindkét komplex síkon. A * jel arra utal a VL jelölésben a 3. ábrán, hogy a £ síkon érvényes mennyiségről van szó. A kör körüli áramlás komplex potenciálját ismerjük, és a iT* X*(S, v)=cp+iy,=VZ!;+Vt In £ (3) , 2—4. ábra. Jelölések értelmezése Abb. 2. Deutung der Bezeichnungen A x, y koordinátatengelyek síkja a z komplex számok síkja, y a képzetes, x a valós tengely. Célszerű lenne a z síkon levő áramlástani feladatot egy olyan görbevonalú koordinátarendszerbe transzformálni, ahol a feladat egyszerűbben kezelhető, tehát egy olyan ugyancsak komplex | sík bevezetése, melyet a 2-vel analitikus függvény kapcsol össze. Válasszuk egy ilyen analitikus összefüggésként az ún. ZSUKOVSZKIJ-féle leképzést, azaz a a

2 £ ' 2 71 egyenlet alakjában írható fel, ahol cp a sebességi potenciál függvénye, y> áramfüggvény, V%, a £ síkon a végtelen távoli pontban a sebesség VZ a £ síkon a végtelen távoli pontban a sebesség konjugáltja F* a £ síkon a cirkuláció (örvényerősség) értéke. A %*(!, rf) potenciálfüggvényt vizsgálva megállapíthatjuk, hogy az első két tag egy a -j-x tengellyel 0 szöget bezáró áramlásba helyezett dipólus komplex potenciálja. Ez egy köralakú, ,0' áramvonalat ír le, melyen kívüli és belső folyadékrészecskék egymással nem keverednek, tehát egy kör alakú test szilárd falát modellezi. A harmadik tag egy izolált örvényszál komplex potenciálját jelenti, mely tag teszi aszimmetrikussá az áramkópet, s a felhajtóerő létezését fejezi ki. Hiszen a klasszikus áramlástan tótele alapján a felhajtóerő Ji = g • F« • sin 0 • r, (g a közeg sűrűsége) összefüggéssel adható meg. Ha F - 0, a testre nem hat felhajtóerő. Ezt nevezik a klasszikus áramlástanban D'ALEMBERT-féle' paradoxnak. Továbbá, mivel a cirkulációt a r= J V <ls = J u (\x-\-v áy= J d<p = g a g = J Red% = j d£ = J R eX*=r* g g g* egyenlettel definiáljuk, s megállapíthatjuk, hogy a leképezés a F értéket nem változtatja meg, így a (3)-ban a J

r*-nál a * jel elhagyható, tehát (3) így alakul át: £. (3a) V 2jt Ezután (l)-et írjuk le ismét: a

2 £ (1) és számítsuk a leképzési modulust m = dz -1 d£ í»"