Hidrológiai Közlöny 1980 (60. évfolyam)
9. szám - Dr. Prékopa András–Szántai Tamás: Készletszintek optimális szabályozása és annak alkalmazása a Balaton vízszintszabályozására
398 Hidrológiai Közlöny 1980. 9. sz. Dr. Prékopa A.—Szántai T.: Készletszintek optimális szabályozása diagonálishoz nagyon közeli korrelációs együtthatókra lesz szükségünk, minthogy a többiek értéke nullától alig különböző. A korrelációs mátrix itt közölt része nagyobb, mint amekkorára szükség van, azonban jól mutatja, hogy sztochasztikus függőség csak az igen közeli hónapok adatai között áll fent. Amint a bevezetésben mondottuk, havonkénti optimalizálásokat hajtottunk végre az 1922 és 1970 közötti időszakra. Először kiszámítottuk az év tizenkét hónapjának megfelelő D mátrixokat, utána minden D mátrixhoz meghatároztuk a neki megfelelő ü 1T 1~ 1 és U 1T l~ 1U 1 mátrixokat. Ezeket a mátrixokat rögzíteni lehet, nem változnak a természetes vízkészlet változás idősorának az aktuális értékeitől függően. Ezután az aktuális Ci és C-2 értékeket használva kiszámítottuk az összes (5.6) alakú feltételes várható értéket. Végül 588 optimalizálási feladatot oldottunk meg (az 1922 és 1970 közötti hónapok mindegyikére egyet), amelyek közül sok feladat triviális volt, ugyanis a mi esetünkre (n — 2, N = 2) specializált (3.10) egyenletek megoldása olyan z 3 és z 4 értékeket eredményezett, amelyekre a 0Sz 3s 200 ésa0sz 4^200 egyenlőtlenségek teljesülnek. Példaként tekintsük az 1953 júliusában leengedendő optimális vízmennyiség megkeresésének a problémáját. Ebben az esetben a £ v | 2, f 3,f 4 valószínűségi változók jelentése a következő: — természetes vízkészlet változás 1953 májusában, | 2—természetes vízkészlet változás 1953 júniusában, | 3 — természetes vízkészlet változás 1953 júliusában, | 4 — természetes vízkészlet változás 1953 augusztusában. A várható értékek, szórások és a korreláció mátrix megkapható a közölt táblázatokból. Ezek a következők: E(£ 1) = 29,78, E(| 2) = 14,52, E(|,) = = -43,44, 2?(| 4) = —38,30, = = 63,11, D(| 2) = 73,98, Z>(f 3) = = 73,96, Z>(| 4) = 69,58, R1,000 0,333 0,198 0,201 £2 0,333 1,000 0,579 0,263 Is 0,198 0,579 1,000 0,352 I4 0,201 0,263 0,352 1,000 J Ii t •=2 £ £ s4 Az (5.2) transzformált valószínűségi változók várható értékei és kovariancia mátrixa a következők : E(^) = 27,98, E{Z tY=-4,52, E(£3) = = -43,44, i?(C 4) = -81,74, D = 3982,872 100 1554,736 307 924,187 889 11806,817 843 1554,736 307 5473,040 400 3168,033 703 4521,833 672 £3 924,187 889 3168,033 703 5470,081 600 c 4 1 806,817 843 4 521,833 672 7 281,521 754 7281,521 754 13 934,338 308JC Cl £2 c 3 Ebből azt kapjuk, hogy M 5470,081 600 7281,521 754 924,187 889 1806,817 843 3982,872 100 1554,736 307 7 281,521 754 13 934,338 308 3168,033 703 4521,833 672 1554,736 307 5473,040 400 [ 0,000 282 -0,000 080 -0,000 080 0,000 206 U XT0,147 490 0,784 304 J A természetes vízkészletváltozások realizálódott értékei a következők voltak: li = Ci = 40, | 2 = : £2 = 22, ezért a feltételes várható értékek: =40, £,=22 ] (5.7) A 4 3,C 4 valószínűségi változók Ci = 40, C a = 22 feltétel melletti feltételes eloszlásának a kovariancia mátrixa a következő: (5.8) S - U T~W _ '3636,120 064 4 660,512 8641 "" 4660,512 864 10 121,360 244]' Mivel Ckézd = 3205, az (5.4) optimalizálási probléma a következő alakban írható fel: max P -205^ í 3-z 3s95 -205=5 (5.9) feltéve, hogy r . Z 3-Z 4HS 951 Ci =40, C 2=22 0; ;200, 0^z 4^200, ahol a valószínűség (5.7) várható érték vektorú és (5.8) kovariancia mátrixú, kétdimenziós normális eloszlásra vonatkozik. Ha kiszámítjuk a (3.10) egyenlőségeknek megfelelő z 3,z 4 értékeket, azt kapjuk hogy: z 3 = 27, Z 4 31. Ebből következik, hogy az (5.9) probléma optimális z 4 megoldása az alábbi:
