Hidrológiai Közlöny 1980 (60. évfolyam)

9. szám - Dr. Prékopa András–Szántai Tamás: Készletszintek optimális szabályozása és annak alkalmazása a Balaton vízszintszabályozására

Dr. Prékopa A.—Szántai T.: Készletszintek optimális szabályozása Hidrológiai Közlöny 1980. 9. sz. 399 2*=0, és 2* a következő egydimenziós optimalizálási probléma megoldásával állítható elő: 3500 max P (5.10) feltéve, hogy — 2,05 C4 — z3 — 0^2,^200. Ci =40, t

2 =22 a a. // f(x, y; r) dy dx fi ahol cp és 0 az egydimenziós standard normális eloszlás sűrűség- illetve eloszlásfüggvénye. Az egydimenziós numerikus integrálást a RombergHavie-féle eljárással [4] hajtottuk végre. A számítás pontossága 0,001 volt. A javasolt módszernek a Balaton 1922 és 1970 közötti vízszintszabályozására vonatkozó részletes számítási eredményei megtalálhatók a [12] dolgozatban. Egy rövidebb időszakasz szabályozott vízszint változását a 2. ábra szemlélteti. IRODALOM [1] Anderson, T. W.: "The integrál of a symmetric unimodal function over a syininetric convex set and somé probability inequalities", Proc. Amer. Math. Soc. 6 (1955) 1970—1976. [2] A Balaton. Készült a Budapesti Műszaki Egyetem Vízgazdálkodási Intézetében, Budapest, 1970. [3] Deák, I.: "A fast Monté Carlo method for computing probabilities of sets in higher dimensional spaees in ease of normál distribution", Water Resources Research, megjelenés előtt. [4] Havié, T.: "On a modifieation of Romberg's algorithm", BIT 6 (1966) 24—30. [5] Himmelblau, D. M.: Applied Nonlinear Programming, McGraw-Hill, New York, 1972. [6] Fiacco, A. W. and McCormick, G. P.: Nonlinear Pro gramming: Sequential Unconstrained Minimization Techniques, John Wiley, New York, London, 1968. [7] Powell, M. J. I).: „Recent advances in unconstrained optimization", Mathematical Programming 1 (1971) 26—57. [8] Prékopa, A.: Sztochasztikus rendszerek optimalizációs módszerei, Akadémiai doktori értekezés, Budapest, 1970. 3000 A 15 lépéses Fibonacci-féle kereső algoritmus eredménye: z*=2. A többdimenziós esetben a célfüggvény értékét szimulációs módszerrel lehet meghatározni. A kétdimenziós esetben a numerikus integrálás hatékonyabbnak bizonyult. Először egy redukciós formulát alkalmaztunk, majd egydimenziós numerikus integrálást hajtottunk végre. A redukciós formula azt állítja, hogy ha f(x,y\r) a standard peremeloszlásokkal és r (|r|j<l) korrelációs együtthatóval bíró kétdimenziós normális eloszlás sűrűségfüggvénye, akkor 2500 December 2. ábra. A Balaton szabályozott vízkészlet változása (szemléltetés 3 évre) Fig. 2. Controlled variations in the water volume in Laké Balaton (illustration extending over 3 years) [9Prékopa, A.: "Logarithmic concave measures with application to stochastic programming", Acta Scientiarum Mathematicarum 32 (1971) 301—316. [10] Prékopa, A.: "Optimál control of storage level using stochastic programming", Problems of Control and Information Theory 4 (1975) 193—204. [11] Prékopa, A. and Szántai, T.: "On multi-stage stochastic programming (with application to optimál control of water supply)", in: Progress in Operations Research (Coll. Math. Soc. János Bolyai, 12) Ed. A. Prékopa (North Holland, Amsterdam, London, 1976) 733—755. [12] Prékopa, A. and Szántai, T.: "On optimál regulation of a storage level with application to the water level regulation of a laké", Proceedings of the IX-th Mathematical Programming Conference, Vol. 2, Budapest, 1976, Ed. A. Prékopa, 183—208. [13] Szesztai, K.: A Balaton vízháztartása (Országos Vízügyi Hivatal, Budapest, 1962) [14] Wilks, S.S.: Mathematical Statistics (John Wiley, New York, London, 1962) [15] Wilde, D. J.: Optimum, Seeking Metliods (Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1964) Optimál resourees control and tlie application tliereof for reg^lating the water level of Laké Balaton by Prékopa, A. M. Acad. Sci. Hung. and Szántai, T. The main objective of the paper is to describe a major application of the stochastic programming model system introduced earlier (10) for the optimál control of resourees. In section 2 a dynamic stochastic prograimning model is developed (problems 1. [2.3] and [2.4]) for maintaining the optimál water level in Laké Balaton. In seetion 3 the mathematical properties of the stochastic programming problems serving optimál water level control are examined demonstrating that these display the properties desirable for solution (thoorem 1.3.2). In section 3 it is alsó demonstrated that by applying theorem 3.3 of T. W. Anderson somé stochastic programming problems can be solved in a simplified manner. In section 4 the non-linear programming metliods used for solving the stochastic programming problems of the (2.3) and (2.4) types are briefly described. In section 5 the stochastic programming problems ensuring optimál water level regulation in Laké Balaton are described in detail together with their solutions. As an example the stochastic. programming model is applied for determining the water volumes to be released through the Sió Canal in July, 1953. The computations have been performed for the entire period between 1922 and 1970 with the results shown in an earlier paper (12). The practical value of the method of water level regulation developed is ülustrated in Fig. 2 showing the regulated variations of the water volume stored in Laké Balaton.